R1 2008 vår LØSNING

Del 1

Oppgave 1

a)

<tex>f(x) = x^2 \cdot lnx \\ f'(x) = 2x \cdot lnx + \frac 1x \cdot x^2 = 2xlnx+x = (2lnx+1)x</tex>

b)

<tex>\quad(x^3-4x^2+x+6):(x-2) =x^2 -2x - 3 \\ -(x^3-2x^2)\\ \quad \quad \quad\quad \quad -2x^2+x \\ \quad \quad \quad -(-2x^2+4x) \\ \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad -3x+6 \\ \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \quad -(-3x+6)\\ \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad0</tex>

c)

<tex>\lim_{x\to 8} \frac{x^2-64}{2x+16} =\lim_{x\to 8} \frac{(x-8)(x+8)}{2(x-8)}= \lim_{x\to 8} \frac{(x+8)}{2}=8 </tex>

d)

<tex>lg(x \cdot y^2)-2lgy+ lg(\frac{x}{y^2}) = lgx + 2lgy - 2lgy +lgx - 2lgy = 2(lgx-lgy)= 2lg ( \frac xy)</tex>

e)

1)

<tex>f(x) = xe^{-x} \\ f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot e^{-x} \cdot (-1) = e^{-x}-xe^{-x} = (1-x)e^{-x}</tex>

2)

<tex>f(x) = (x-2)e^{-x}\\f(x)=0 \Rightarrow x=2 \\ \text{Vendepunkt:}\quad(2,f(2)) = (2,2e^{-2}) = (2, \frac{2}{e^2})</tex>

Oppgave 2

a)

Dersom vektorene står vinkelrett på hverandre er skalarproduktet null:

<tex>\vec{u}\cdot\vec{v}= 0 \\ -ab + ab = 0</tex>

b)

<tex> l: \left [ x = 3-t \\ y = 4+4t \right]</tex>

Linjen <tex>CF_3</tex> går gjennom punktet C som har koordinatene (3,4). Linjen står vinkelrett på AB og skalarproduktet mellom rettningsvektorene må være null:

<tex>[-1,4]\cdot[4,1] = 0</tex>

Hvilket betyr at l er en parameterfremmstilling for <tex>CF_3</tex>

c)

Linjen <tex>AF_1</tex> går gjennom punktet (1,0). Linjen står vinkelrett på BC. Stigningstallet til <tex>AF_1</tex> blir da:

<tex>- \frac 32 \cdot x = -1 \\ x = \frac 23 </tex>

som gir rettningsvektor [3,2] og parameterfremmstilling:

<tex> l: \left [ x = 1+3s \\ y = 2s \right]</tex>

d)

<tex> \left [ 3-t = 1+3s \wedge 4+4t = 2s \\ s = 2 + 2t \wedge 3-t = 1 + 6 + 6t \\ t = - \frac 47 \right]</tex>

Skjæringspunkt blir da:

<tex> x = 3 - (- \frac 47) = \frac{25}{7} \\ y= 4 + (- \frac 47) = \frac {12}{7}</tex>

e)

Høydene i en trekant skjærer hverandre i et punkt, ortosenteret.

Del 2

Oppgave 3

a)

Dette er et uordnet utvalg uten tilbakelegging:

<tex>nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} = 2598960</tex> muligheter.

b)

\left ({n}\\{x} \right)

Oppgave 4

Alternativ I

a)

En funksjon vokser når den deriverte er positiv. f vokser for x verdier fra en til tre.

b)

f har et minimumspunkt når x = 1, da er den deriverte null og skifter fra negativ til positiv verdi.

f har et maksimumspunkt når x = 3, da er den deriverte null og skifter fra positiv til negativ verdi.

f har et vendepunkt når x = 2.Den deriverte har et maksimumspunkt, og f skifter fra å vende sin hule side opp, for x verdier mindre enn 2, til å vende sin hule side ned for verdier større enn 2.

c)

<tex>f'(x) = ax^2+bx+c \\ f'(0) = - 3 \Rightarrow c = -3 \\ f'(1) = 0 \Rightarrow a+b-3=0 \\ x= \frac{-b}{2a} \Rightarrow b = -4a \\ a-4a -3 = 0 \Rightarrow a =-1 \quad \wedge \quad b=4 \\ f'(x) = -x^2+4x-3</tex>

d)

Dersom man deriverer f får man uttrykket for f' gitt i oppgave 4c. f går gjennom origo fordi f(0) = 0.

Oppgave 5

a)

<tex>S_1S_2</tex> er summen av radiusene i <tex>S_1</tex> og <tex>S_2</tex>, altså a+b.

<tex>S_1S_2 = a + c</tex>

<tex>S_2S_3 = b + c</tex>

b)

<tex> (a+b)^2 = (a-b)^2 + (AC)^2 \\ (AC)^2 = a^2+2ab+b^2 -a^2 +2ab -b^2 = 4ab \\ AC = 2\sqrt{ab}</tex>

c)

<tex> (a+c)^2 = (a-c)^2 + (AB)^2 \\ (AB)^2 = a^2+2ac +c^2 -a^2 +2ac -c^2 = 4ac \\ AB = 2\sqrt{ac}</tex>

<tex> (b + c)^2 = (b -c)^2 + (BC)^2 \\ (BC)^2 = b^2+2bc+ c^2 -b^2 +2bc - c^2 = 4bc \\ BC = 2\sqrt{bc}</tex>

d)

<tex> AC = AB + BC \\ 2\sqrt{ab} = 2\sqrt{ac} + 2\sqrt{bc} \\ \sqrt{ab} =\sqrt{ac} + \sqrt{bc} \\ \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{abc}} = \frac {\sqrt{ac}}{\sqrt{abc}} + \frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{abc}} \\ \frac{1}{\sqrt c} = \frac{1}{\sqrt b} + \frac{1}{\sqrt a} </tex>