R1 2012 vår LØSNING

Oppgave 1:

a)

1)

<tex>f(x) = 5x^3+x-4 \\ f'(x) = 3 \cdot 5x^2 + 1 \\ f'(x) = 15x^2 + 1 </tex>

2)

<tex>g(x) = 5e^{3x} \\ u = 3x \wedge u' = 3 \\ g'(x) = 5e^u \cdot u' \\ g'(x) = 15e^{3x}</tex>

b)

<tex> 2ln(\frac{a^2}{b}) + ln (a \cdot b) - 3ln a = \\ 2ln a^2 - 2ln b + ln a + lnb - 3 lna = \\4ln a - 2ln b + ln a + lnb - 3 lna = \\ 2lna - lnb </tex>

c)

<tex> f(x)= x^3-3x</tex>

1)

Nullpunkter:

<tex>x^3-3x = x(x^2-3)= x(x- \sqrt 3 )(x + \sqrt 3) \\x = - \sqrt3 \quad \vee \quad x = 0 \quad \vee \quad x= \sqrt3</tex>

2)

<tex>f'(x) = 3x^2-3 \\f'(x) = 0 \\ 3(x^2-1) = 0 \\ x = -1 \quad \vee \quad x = 1 \\ f(-1)= 2 \quad \vee \quad f(1) = -2</tex>

Toppunkt (-1,2)

Bunnpunkt (1,-2)

3)

d)

<tex>P(x) = x^3-3x^2-x+3 \\ P(3) = 27-27-3+3 =0 \\ \\ P(x):(x-3) \\ (x^3-3x^2-x+3): (x-3) =x^2-1

\\-(x^3-3x^2)\\ \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad -(-x+3) \\ \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad 0</tex>

Dette gir følgende løsninger:

x = - 1 eller x = 1 eller x = 3.

e)

<tex>\vec r(t) = [3,0t ,-4,9t^2] \\ \vec v(t) = \vec r'(t) = [3,0 , -9,8t] \\ \vec a(t) = \vec v'(t) = \vec r(t) = [0 , -9,8] </tex>

Oppgave 2:

b)

Skalarprodukt:

<tex>[1,a_1]\cdot[1,a_2] = 0 \\ 1+ a_1 \cdot a_2 = 0 \\ a_1 \cdot a_2 =-1</tex>

c)

<tex>y= - \frac 12x+5</tex>

d)

Oppgave 3:

a)

<tex> f(x)= \frac1x \\ f'(x) = - \frac {1}{x^2} \\ f'(a) = - \frac {1}{a^2} \\ Rett \quad linje: \quad y=ax+b \\ y= - \frac{1}{a^2}x+ b </tex>

Finner b ved å bruke punktet (a, f(a)):

<tex>y = - \frac{1}{a^2}x+ b \\ \frac 1a = - \frac{1}{a^2}a+ b \\ b= \frac 2a </tex>

Som gir likningen

<tex>y = - \frac{1}{a^2}x+ \frac 2a</tex>

b)

<tex>y = - \frac{1}{a^2}x+ \frac 2a</tex>

A:

<tex> y=0 \\ 0 = - \frac{1}{a^2}x+ \frac 2a \\ \frac{x}{a^2} = \frac 2a \\ x=2a</tex>

Koordinater A: (2a,0)

B:

<tex> \frac 2a </tex>

Koordinater B:<tex>( \frac 2a, 0)</tex>

c)

Arealet av trekanten avgrenset av tangenten og aksene er:

<tex> A= \frac{2a \cdot \frac 2a}{2} = 2</tex>

Man observerer at arealet er uavhengig av x.

Oppgave 5:

<tex> \vec{AB}=[2,-2]</tex>

Lengde av radius:

<tex>r= \frac 12 | \vec{AB}| = \frac 12 \sqrt8 = \sqrt2</tex>

Sentrum S, av sirkel: <tex>\vec{OS}= \vec{OA} + \frac 12 \vec{AB} = [2,4]+ \frac 12 [2,-2] = [3,3] </tex>

Sentrum er i punktet (3,3). Et vilkårlig punkt på sirkelperiferien er (x,y). Vi får:

<tex> (x-3)^2 + (y-3)^2 = (\sqrt 2)^2 \\ (x-3)^2 + (y-3)^2 =2 </tex>

Oppgave 6:

a)

<tex>\vec{EF} = [5,-5]</tex>

Bruker [1, -1] som rettningsvektor. Parameterfremmstilling:

<tex> l: \left [ x = 2 +t \\ y = 4-t \right]</tex>

b)

Skjæring med x- akse: y = 0 gir t = 4 som gir x = 6. Skjæring i (6,0)

Skjæring med y- akse: x = 0 gir t = -2 som gir y = 6. skjæring i (0, 6)

c)

<tex> [2+t-6, 4-t-3] \cdot [1,-1] =0 \\ [t-4, 1-t] \cdot [1,-1] =0 \\ t-4-1+t = 0 \\ t = \frac 52 \\ x = \frac 92 \wedge y = \frac 32</tex>

Avstand mello G og l:

<tex>\sqrt{( \frac{12}{2}- \frac{9}{2})^2 + (\frac{6}{2}- \frac{3}{2})^2} = \frac{3 \sqrt2}{2}</tex>

Oppgave 7:

a)

<tex>f(x) = \frac 52 e^{- \frac x2} \\ A = g(x) = \frac{f(x) \cdot x}{2} = \frac {\frac 52 e^{- \frac x2} \cdot x}{2} = \frac 54x e^{- \frac x2}</tex>

b)

<tex> g'(x)= \frac 54 e^{- \frac x2} + \frac 54 x e^{- \frac x2}\cdot( - \frac 12) = e^{- \frac x2}( \frac 54 - \frac{5x}{8} \\ g'(x) = 0 \\ x = 2</tex>

Inspeksjon viser at g har et maksimum for x=2.

<tex>g(2)= \frac{5 \cdot 2}{4} e^{-1} = \frac{5}{2e}</tex>

Oppgave 9:

a)

b)

g(x)= 2(x + 2)(x - 1)(x-3)

c)

<tex>h(x)= 0,5(x+2)(x-2)(x-2)= 0,5(x+2)(x-2)^2</tex>

Oppgave 10:

a)

AC = OB = 3

b)

Skravert areale:

<tex>\frac 14 \pi r^2 - \frac{3sqrt2}{2} = \frac 94 \pi - \frac{18}{4} = \frac 94(\pi-2)</tex>

Oppgave 11:

a)

A = det regner

B = det er meldt regn

<tex>P(A)= 0,08 \\ P( \overline{A}) = 1-P(A)= 0,92 </tex>

b)

<tex>P(B|A)=0,90 \\ P(B| \overline{A}) = 0,10 \\P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P( \overline{A}) \cdot P(B| \overline{A}) = 0,08 \cdot 0,90 + 0,92 \cdot 0,10 = 0,164</tex>

c)

<tex>P( \overline{A}|B) = \frac{P( \overline{A}) \cdot P(B| \overline{A})}{P(B)} = \frac{0,92 \cdot 0,10}{0,164} = 0,56</tex>