1T 2010 vår LØSNING

Del 1

Oppgave 1

f)

Faktoriserer uttrykket ved hjelp av konjugatsetningen og regelen for faktorisering av fullstendig kvadrat, forkorter deretter uttrykket ved å stryke samme faktorer i teller og nevner:

<tex>\frac {x^2-9}{x^2+6x+9}=\frac {(x+3)\cdot (x-3)}{(x+3)(x+3)}=\frac {\cancel{(x+3)}\cdot (x-3)}{\cancel{(x+3)}(x+3)} =\frac {x-3}{x+3}</tex>

g)

<tex> \log(2x +4) = 3 \log 2 \Leftrightarrow \log (2x+4)= \log(2^3) \Leftrightarrow 2x+4=2^3 \Leftrightarrow 2x+4=8 \Leftrightarrow 2x=8-4 \Leftrightarrow 2x=4 \Leftrightarrow x= \frac 42 \Leftrightarrow x=2 </tex>

h)

1)

Sannsynligheten for at pilen peker enten på blått eller grønt felt når hjulet stopper er:

<tex> P=P(B)+P(Gr)=\frac 38 + \frac 28 = \frac 58=0,625 =62,5 \percent </tex>

2)

Sannsynligheten for at pilen peker en gang på gult felt og en gang på grønt felt når hjulet snurres to ganger, er:

<tex>P=P(Gul)\cdot P(Gr))=\frac 18 \cdot \frac 28= \frac {2\cdot 1}{8\cdot 8}=\frac 2{64}=\frac 1{32}=0,03125=3,125 \percent</tex>

Del 2

Oppgave 3

a)

Siden trekant <tex>ACD</tex> er rettvinklet er det greit å finne lengden <tex>AC</tex> ved hjelp av Pytagoras setning:

<tex> AC^2=AD^2+CD^2 \Leftrightarrow AC=\sqrt{AD^2+CD^2} =\sqrt{(3,0 m)^2 + (5,0 m)^2}=\sqrt{9,0 m^2 + 25 m^2}=\sqrt{34 m^2} \approx 5,8 m</tex>

b)

Når trekant <tex>BCD</tex> er likebeint (to av sidene er like lange), vet vi at også to av vinklene må være like lange. Vinkelsummen i en trekant er alltid 180 grader, så siden vinkel <tex>C</tex> er kjent kan vi regne ut de andre to:

<tex> \angle B=\angle D = \frac {180 ^\circ - \angle C}2 =\frac {180 ^\circ - 120 ^\circ }2= \frac {60 ^\circ}2= 30 ^\circ </tex>

Når vi kjenner størrelsen på denne vinkelen, kan vi finne <tex>BD</tex> ved hjelp av sinussetningen:

<tex>\frac {BD}{\sin \angle C}=\frac {CD}{\sin \angle B} \Leftrightarrow BD=\frac {CD \cdot \sin \angle C}{\sin \angle B}=\frac{5.0 \text{m} \cdot \sin (120 ^\circ)}{\sin (30 ^\circ)}=\frac {5.0 \text{m} \cdot \frac {\sqrt 3}2}{\frac 12}=5\sqrt 3 \text{m} \approx 8.66 \text{m} \approx 8.7 \text{m}</tex>

c)

1)

2)

Oppgave 4

a)

Bruker fartsformelen <tex>s=vt</tex>, der <tex>s</tex> er strekningen Arne har syklet, <tex>v</tex> er farten han sykler med, og <tex>t</tex> er tiden han har brukt:

<tex>s=s_1+s_2=v_1 \cdot t_1 + v_2 \cdot t_2 = 12 \text{km/t} \cdot \frac {30 \text{min}}{60 \text{min}} + 18 \text{km/t} \cdot \frac {15 \text{min}}{60 \text{min}}=12 \text{km/t} \cdot \frac 12 \text{t}+ 18 \text{km/t} \cdot \frac 14 \text{t} =6 km + 4,5 km = 10,5 km\approx 11 km</tex>

c)

Funksjonsuttrykket for de første 30 minuttene er:

<tex>y=\frac {12}{60}x= \frac 15 x=0,20x</tex> gjelder når <tex>x \in \left[0,30\right] </tex> (sagt med ord: når <tex>x</tex> er fra og med 0 til og med 30).

Funksjonsuttrykket for de neste 30 minuttene er:

<tex>y=\frac {18}{60}x= \frac 3{10} x=0,30x</tex> gjelder når <tex>x \in \left\langle30,60\right] </tex>(sagt med ord: når <tex>x</tex> er fra 30 til og med 60).

Oppgave 7

Alternativ I

a)

1)

2)