R1 2010 vår LØSNING

Del 1

Oppgave 1

a)

1) <tex>f(x)=x^3\ln(x)\Rightarrow f'(x)=(x^3)'\ln(x)+x^3(\ln(x))'=3x^2\ln(x)+x^3\frac{1}{x}=x^2(3\ln(x)+1)</tex>

2) <tex>g(x)=4e^{x^2-3x}\Rightarrow g'(x)=4(2x-3)e^{x^2-3x}</tex>

b)

1) La <tex>P(x)=x^3-4x^2-4x+16</tex>. Da er <tex>P(2)=2^3-4\cdot 2^2-4\cdot 2+16=8-16-8+16=0</tex>, og <tex>x-2</tex> er en faktor i <tex>P(x)</tex>. Polynomdivisjon gir at <tex>x^3-4x^2-4x+16\,:\,x-2=x^2-2x-8 </tex>. Vi ser videre at <tex>-2</tex> er en rot i polynomet <tex>x^2-2x-8</tex>, så <tex>x+2</tex> er en faktor. Polynomdivisjon gir dermed at <tex>x^2-2x-8\,:\, x+2=x-4</tex>, så <tex>P(x)=(x-2)(x+2)(x-4)</tex>

2) <tex>P(x)\leq 0\Rightarrow (x-2)(x+2)(x-4)\leq 0</tex>. P(x) har nullpunkter i <tex>x=-2</tex>, <tex>x=2</tex> og <tex>x=4</tex>, og skifter fortegn i disse punktene. Dersom <tex>x<-2</tex> er hver av de tre faktorene i <tex>P(x)</tex> negativ, og <tex>P(x)<0</tex>. Dersom <tex>-2<x<2</tex> er to av faktorene negative og <tex>P(x)>0</tex>. Dersom <tex>2<x<4</tex> er nøyaktig én faktor negativ, og <tex>P(x)<0</tex>. Dersom <tex>x>4</tex> er alle faktorene positive, og <tex>P(x)>0</tex>. Ulikheten <tex>P(x)\leq 0</tex> er følgelig tilfredsstilt for <tex>x\leq -2</tex> og <tex>2\leq x\leq 4</tex>.

c)

<tex>\text{Per er fra Bergen}\Rightarrow \text{Per er fra Norge}</tex>. (At Per er fra Norge behøver ikke bety at han er fra Bergen.)

d)

1) La <tex>\vec{a}=[3,5]</tex>. Vi dobler vektoren ved å multiplisere med <tex>2</tex>, og snur retningen ved å multiplisere med <tex>-1</tex>. Det følger at <tex>\vec{b}=-2\cdot [3,5]=[-6,-10]</tex>

2) For at <tex>\vec{c}=[x,y]</tex> skal stå normalt på <tex>\vec{a}</tex>, må <tex>\vec{c}\cdot \vec{a}=[x,y]\cdot[3,5]=3x+5y=0</tex>. Et naturlig valg er <tex>x=5</tex>, <tex>y=-3</tex>, så <tex>\vec{c}=[5,-3]</tex>.

e)

<tex>4\cdot \left ( 1+\frac{x}{100}\right )^4=64\Rightarrow \left ( 1+\frac{x}{100}\right )^4=16=2^4\Rightarrow 1+\frac{x}{100}=\pm 2</tex>. Altså er <tex>x=100</tex> eller <tex>x=-300</tex>.

Oppgave 2

a)

Vi har at <tex>f'(x)=2(x+1)(x-3)</tex>, så <tex>f'(x)</tex> har nullpunkt i <tex>x=-1</tex> og <tex>x=3</tex>. Dersom <tex>x<-1</tex> er <tex>f'(x)>0</tex> og <tex>f(x)</tex> vokser, dersom <tex>-1<x<3</tex> er <tex>f'(x)<0</tex> og <tex>f(x)</tex> avtar, og dersom <tex>x>3</tex> er <tex>f'(x)>0</tex> og <tex>f(x)</tex> vokser. <tex>f(x)</tex> har derfor toppunkt i <tex>x=-1</tex> og bunnpunkt i <tex>x=3</tex>.

b)

<tex>f'(x)=2(x+1)(x-3)\Rightarrow f(x)=2(x-3)+2(x+1)=4x-4</tex>. <tex>f(x)</tex> har vendepunkt der <tex>f(x)=0</tex>, altså i <tex>x=1</tex>

c)

Nullstiller vi den andrederiverte til <tex>g(x)</tex> får vi en lineær ligning som følgelig bare kan ha én løsning. Derfor kan funksjonen maksimalt ha ett vendepunkt. Vi har at <tex>g(x)=a(x-c)+a(x-b)=a(2x-b-c)</tex>. Førstekoordinaten til vendepunktet er løsning på ligningen <tex>g(x)=a(2x-b-c)=0</tex>, som er gitt ved <tex>x=\frac{b+c}{2}</tex>, altså midt mellom <tex>b</tex> og <tex>c</tex>, som også er midt mellom <tex>x_{maks}</tex> og <tex>x_{min}</tex> (siden <tex>g(x)</tex> har topp- og bunnpunkt i <tex>x=b</tex> og <tex>x=c</tex>, der den deriverte er <tex>0</tex>).

Del 2

Oppgave 3

a)

<tex>{12\choose 5}=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=792</tex>

b)

For hver av de sju resterende kampene er det to muligheter, altså blir det totalt <tex>2^7=128</tex> måter å fylle ut kupongen.

c)

Sannsynligheten for nøyaktig fem hjemmeseire blir <tex>792\cdot (\frac{1}{3})^{5}\cdot (\frac{2}{3})^7\approx 0.19 </tex>

Oppgave 4

a)

b)

<tex>\vec{v}=\vec{r}'=[3t^2,1]</tex> og <tex>\vec{a}=\vec{v}'=[6t,0]</tex>

c)

<tex>\vec{v}(t)</tex> er parallell med y-aksen der x-komponenten er <tex>0</tex>, altså der <tex>3t^2=0</tex>. Da er <tex>t=0</tex>, så punktet på kurven der hastighetsvektoren er parallell med y-aksen er i <tex>(3,1)</tex>

Oppgave 5

Alternativ I

a)

Tangenten har ligning <tex>y=ax+b</tex>. Siden den går gjennom punktet <tex>(1,1)</tex> må ligningen tilfredsstille <tex>1=a+b</tex>. Stigningstallet <tex>a</tex> må være det samme som stigningstallet til grafen til <tex>f(x)=x^3</tex> i <tex>(1,1)</tex>. <tex>f'(x)=3x^2</tex>, så <tex>f'(1)=3</tex>, og <tex>a=f'(1)=3</tex>. Videre er <tex>1=a+b=3+b</tex>, så <tex>b=1-3=-2</tex>. Ligningen til tangenten <tex>T_1</tex> er derfor <tex>y=3x-2</tex>.

b)

Punktet Q må tilfredsstille <tex>y=f(x)</tex>, altså <tex>3x-2=x^3</tex> som vi kan skrive <tex>x^3-3x+2=0</tex>. Siden vi kjenner én løsning fra før, <tex>x=1</tex>, må <tex>x-1</tex> være en faktor i polynomet <tex>x^3-3x+2</tex>. Polynomdivisjon gir at <tex>x^3-3x+2\,:\,x-1=x^2+x-2</tex>. Vi ser nå at <tex>1</tex> er en rot i <tex>x^2+x-2</tex>, så <tex>x-1</tex> er en faktor i <tex>x^2+x-2</tex>. Polynomdivisjon gir igjen at <tex>x^2+x-2\,:\,x-1=x+2</tex>. Altså er ligningen <tex>x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)=0</tex>, med løsninger <tex>x=-2</tex> og <tex>x=1</tex>

c)

Siden <tex>T_1</tex> og <tex>T_2</tex> er parallelle må de ha samme stigningstall. Altså må <tex>f'(x)=3x^2=3</tex> i tangeringspunktet, som har løsninger <tex>x=\pm 1</tex>. Tangeringspunktet mellom <tex>T_2</tex> og <tex>f(x)</tex> må derfor være i <tex>(x,y)=(-1,-1)</tex>

Alternativ II

a)

Siden <tex>x</tex> meter av ledningen brukes på trekanten, er det <tex>10-x</tex> tilovers til kvadratet. Siden alle sidene i kvadratet er like lange er hver side <tex>\frac{10-x}{4}</tex>, så arealet er <tex>F_1(x)=(\frac{10-x}{4})^2=\frac{1}{16}(10-x)^2</tex>

b)

Vi trekker en normal ned fra toppen av trekanten ned på grunnlinja, som blir høyden <tex>h</tex>. Pytagoras gir at <tex>h^2+(\frac{x}{6})^2=(\frac{x}{3})^2</tex>, så <tex>h=\sqrt{\frac{1}{9}x^2-\frac{1}{36} x^2}=\sqrt{\frac{3}{36}x^2}=\frac{\sqrt{3}x}{6}</tex>. Arealet av trekanten blir dermed <tex>F_2(x)=\frac{hx}{6}=\frac{\sqrt{3}}{36}x^2</tex>

c)

La <tex>F(x)=F_1(x)+F_2(x)=\frac{1}{16}(10-x)^2+\frac{\sqrt{3}}{36}x^2</tex>, der <tex>0\leq x\leq 10</tex>. <tex>F'(x)=-\frac{1}{8}(10-x)+\frac{\sqrt{3}x}{18}=0</tex> gir at <tex>x=\frac{5}{\frac{1}{2}+\frac{2\sqrt{3}}{9}}\approx 5.65</tex>. Siden den andrederiverte er positiv, må dette være et bunnpunkt, så ledningen må kuttes slik at <tex>x\approx 5.65</tex>

Oppgave 6

a)

Siden <tex>\triangle ASD</tex> er likebeint, er <tex>\angle SAD=\angle ASD =x</tex>

b)

<tex>SD=SC=r</tex> så <tex>\triangle SDC</tex> er likebeint og <tex>\angle SDC=\angle SCD</tex>. <tex>\angle SDA=\pi-2x</tex> og <tex>\angle SDC =\pi-\angle SDA=\pi-(\pi-2x)=2x</tex>

c)

<tex>\angle CSD = \pi-4x=\pi-(x+y)</tex>, så <tex>x+y=4x\Leftrightarrow y=3x</tex>

Oppgave 7

a)

<tex>n=1:</tex> <tex>4^1-1=3</tex>

<tex>n=2:</tex> <tex>4^2-1=15=3\cdot 5</tex>

<tex>n=3:</tex> <tex>4^3-1=63=3\cdot 21</tex>

<tex>n=4:</tex> <tex>4^4-1=255=3\cdot 85</tex>

b)

<tex>(2^n-1)(2^n+1)=(2^n)^2+2^n-2^n-1=(2^2)^n-1=4^n-1</tex>

c)

Dersom <tex>n</tex> er et naturlig tall er <tex>2^n</tex> et heltall, og <tex>2^n-1</tex> og <tex>2^n+1</tex> er de nærmeste heltallene. Blant tre påfølgende heltall vil det alltid være ett som er delelig med <tex>3</tex>: Tallene som er delelig med <tex>3</tex> er på formen <tex>\{3k|k\in\mathbb{N}\}=\{0,3,6,9,12,15,...\}</tex>.

<tex>2^n</tex> er aldri delelig med <tex>3</tex> siden eneste primfaktor er <tex>2</tex>.

d)

Fra c) må enten <tex>2^n-1</tex> eller <tex>2^n+1</tex> være delelig med <tex>3</tex> for alle naturlige tall. Siden <tex>4^n-1=(2^n-1)(2^n+1)</tex> må <tex>4^n-1</tex> alltid være delelig med 3.