Gruppeteori

Gruppeteori er en gren av Algebra og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.

Definisjon

La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:

1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=

2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)

3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)

4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)

5. <tex>a*b=b*a</tex>

En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>.

Elementære resultater

Forkortningslov

Anta at <tex>a*b=a*c</tex>. Da er <tex>b=c</tex>

Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>

Identitetselementet er unikt

Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .

Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.

Inverser er unike

Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.

Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.

Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte

For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.

Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.

Undergrupper

La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>.