Binominalkoeffisienten

Eksempel: har gitt mengden

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Du skal velge to tall uten tilbakelegging fra denne mengden, og rekkefølgen du trekker tallene i spiller ingen rolle. På hvor mange måter kan du det å velge to tall fra denne mengden? Eller med andre ord: hvor mange (uordnede) kombinasjoner av to tall kan du lage fra en mengde på seks? Vi får følgende mulige kombinasjoner:

{1,2} {1,3} {1,4} {1,5} {1,6}

{2,3} {2,4} {2,5} {2,6}

{3,4} {3,5} {3,6}

{4,5} {4,6}

{5,6}

15 muligheter.

Vi kan relativt enkelt sette sammen kombinasjonene ovenfor. Men hvordan finner vi enkelt hvor mange kombinasjoner som finnes når mengdene er store? Dette er akkurat hva binomialkoeffisienten gir svaret på:

<tex>{n \choose r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} = nCr </tex>

der utropstegnet er fakultet produktet. Binomialkoeffisienten gir altså

Antall måter å plukke ut r uordnede utvalg fra totalt n mulige valg.

og gode kalkulatorer vil ha en funksjon for dette, ofte merket nCr eller C.

Oppgaven over hadde ikke så mange muligheter siden mengdene inneholdt få elementer. Dersom vi hadde brukt formelen ville vi fått:

<tex>{6 \choose 2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)} = 15</tex>

Vi ser at formelen stemmer. Nå kan du bruke binomialkoeffisienten til å regne ut hvor mange mulige kombinasjoner det finnes ved en lottotrekning.

---