Vektorprodukt

Vektorproduktet er en operasjon mellom to 3-dimensjonale vektorer som har nyttige anvendelser i blant annet areal- og volumberegninger og når vi skal finne normalvektorer til flater og plan i rommet. Merk at vektorproduktet slik det er definert ikke gir mening for annet enn 3- og 7-dimensjonale vektorer, der vi kun har fokus på det 3-dimensjonale tilfellet.

Definisjon av vektorprodukt (kryssprodukt)

Vi bruker notasjonen <math>\times</tex> for vektorprodukt. Lar vi <math>\vec{v_1}=(x_1,y_1,z_1)</tex> og <math>\vec{v_2}=(x_2,y_2,z_2)</tex> er

<math>\vec{v_1}\times \vec{v_2}=\left ( y_1z_2-y_2z_1,-(x_1z_2-x_2z_1),x_1y_2-x_2y_1 \right )</tex>

Definisjonen kan også skrives som en determinant som gjør den lettere å huske,

<math> \vec{v_1}\times\vec{v_2} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\x_1 & y_1 & z_1 \\x_2 & y_2 & z_2 \end{array} \right |</tex>

Utvikler vi i første rad ser vi at determinanten blir

<math>\vec{v_1}\times\vec{v_2}= (y_1z_2-y_2z_1)i-(x_1z_2-x_2z_1)j+(x_1y_2-x_2y_1)k</tex>.

Her tolker vi <math>i,j,k</tex> som enhetsvektorer langs x-,y- og z-aksen, og da ser vi at dette er i overensstemmelse med den første definisjonen.

Merk at kryssproduktet ikke er kommutativt. Bruker vi definisjonen ser vi at

<math>\vec{v_2}\times \vec{v_1}=-\vec{v_1}\times \vec{v_2}</tex>

Geometrisk tolkning

Geometrisk bilde av vektorproduktet

Vektorproduktet <math>\vec{v_1}\times \vec{v_2}</tex> er en ny vektor, si <math>\vec{v_3}</tex>, som står normalt (vinkelrett) på både <math>\vec{v_1}</tex> og <math>\vec{v_2}</tex> og har lengde <math>|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\sin(\theta)</tex> der <math>\theta</tex> er den minste vinkelen mellom vektorene. Retningen til <math>\vec{v_3}</tex> følger høyrehåndsregelen, dvs. at dersom vi tilpasser et slags koordinatsystem slik at <math>\vec{v_1}</tex> følger x-aksen i positiv retning og <math>\vec{v_2}</tex> følger y-aksen i positiv retning, vil <math>\vec{v_3} </tex> peke i positiv retning langs z-aksen.

Absoluttverdien av vektorproduktet

Absoluttverdien

<math>|\vec{v_1}\times \vec{v_2}|</tex>

er arealet til parallellogrammet utspent av vektorene. Bruker vi definisjonen kan vi vise at

<math>|\vec{v_1}\times \vec{v_2}|=|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\sin(\theta)</tex>

der <math>\theta</tex> er (den minste) vinkelen mellom vektorene. Da ser vi geometrisk at dette er likt arealet av parallellogrammet. For spesialtilfellet <math>\theta=\frac{\pi}{2}</tex> vil vektorene utspenne et rektangel, og da ser vi enkelt at arealtolkningen stemmer siden <math>\sin(\frac{\pi}{2})=1</tex>.

Eksempler

Beregning av vektorprodukt

Gitt vektorene <math>\vec{p}=(1,4,2)</tex> og <math>\vec{q}=(9,7,1)</tex> beregner vi vektorproduktet som følger:

<math> \vec{p}\times\vec{q}=(1,4,2)\times (9,7,1)=(4\cdot 1-7\cdot 2, -(1\cdot 1-9\cdot 2),1\cdot 7-9\cdot 4)=(-10,17,-29)</tex>

Høyrehåndsregelen

Vi har vektoren <math>\vec{ v_1}</tex> og vektoren <math> \vec{v_2}</tex>. Vektorproduktet av de to vektorene vil være en vektor <math>\vec{v_3}</tex> som står vinkelrett på planet som inneholder vektoren <math>\tex{v_1}</tex> og vektoren <math>\vec{v_2}</tex>.

Dersom du bruker høyre hånd og holder pekefingren parallell med <math>\vec{v_1}</tex>, bøy langfingren slik at den er parallell med <math>\vec{v_2}</tex> og la tommelfingren stå rett ut fra hånden. Tommelen peker nå i samme retning som <math>\vec{v_3}</tex>. Regelen kalles høyrehåndsregelen.

Regneregler

Vektorproduktet skrives <math> \vec{v_1}\times \vec{v_2}</tex> og kalles derfor ofte for kryssproduktet. Operasjoner er ikke kommutativ eller assosiativ. Følgende regneregler gjelder:

<math>\vec{v_1}\times \vec{v_1} = -( \vec{v_2} \times \vec{v_1}) \\ \\ (\vec{v_1} + \vec{v_2}) \times \vec{v_3} = (\vec{v_1} \times \vec{v_3}) + (\vec{v_2} \times \vec{v_3})\\ \\

(k\vec{v_1}) \times \vec{v_2} = \vec{v_1} \times (k\vec{v_2})= k(\vec{v_1} \times \vec{v_2})</tex>

Når man tar skalarproduktet av to vektorer blir resultatet en skalar, eller et tall. Når man tar vektorproduktet blir resultatet en ny vektor. Lengden av denne vektoren er gitt ved:

<math>|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = |\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|\cdot \sin \phi, \quad \phi \in [0^{\circ},180^{\circ}]</tex>.

Bruksområder

Vektorproduktet brukes til å beskrive fenomener i fysikken og det kan også brukes til å regne ut arealer og volumer, samt til å bestemme et plans normalvektor. Eksempelvis har vi at:

Volumet av en trekantet pyramide

bestemt av vektorene <math>\vec{v_1}</tex>, <math>\vec{v_2}</tex> og <math>\vec{v_3}</tex> er gitt ved <math>V= \frac 16 \cdot|(\vec{v_1}\times \vec{v_2})\cdot \vec{v_3}|</tex>

Volumet av en firkantet pyramide

bestemt av vektorene <math>\vec{v_1}</tex>, <math>\vec{v_2}</tex> og <math>\vec{v_3}</tex> er gitt ved <math>V= \frac 13 \cdot |(\vec{v_1} \times \vec{ v_2})\cdot \vec{v_3}|</tex>

Volumet av et parallellepiped

bestemt av vektorene <math>\vec{v_1}</tex>, <math>\vec{v_2}</tex> og <math>\vec{v_3}</tex> er gitt ved <math>V = |(\vec{v_1}\times \vec {v_2})\cdot \vec{v_3}|</tex>

Arealet at parallellogram

utspent av vektorene <math>\vec{v_1}</tex> og <math>\vec{v_2}</tex> er gitt ved <math>A = |\vec{v_1} \times \vec{v_2}| </tex>

Arealet av en trekant

utspent av vektorene <math>\vec{v_1}</tex> og <math>\vec{v_2}</tex> er gitt ved <math>A = \frac 12\cdot|\vec{v_1} x \vec{v_2}| </tex>

---