Figurer i rommet

Volum og Overflate

Dersom grunnflaten G og toppflaten T er to parallelle, kongruente plan er volumet gitt ved:

V = Grunnflate · høyde = G · h

Legemets overflate er gitt ved:

O = 2 · Grunnflate + OmkretsGrunnflate · høyde = 2G + OGh

Terning

En terning, eller kube, er en romfigur som avgrenses av seks kvadratiske flater. Alle sidekantene har derfor samme lengde. Dersom sidekantene av terningen er lik a, kan terningen se slik ut:

Overflaten av en terning blir summen av de seks kvadratenes areal:

<tex>O = 6a^2</tex>

<tex>O = 6a^2</tex>

<tex>O = 6a^2</tex>

Volumet av en terning er lengde ganger bredde ganger høyde. Siden disse har samme lengde kan vi skrive volumet som:

<tex>V = a\cdot a \cdot a = a^3</tex>

Test deg selv

Prisme

Et prisme er en romfigur der grunnflate og toppflate er like, og med rektangulære sideflater som står vinkelrett på grunnflaten. Det finnes altså prismer med svært forskjellig form. Et rett firkantet prisme kan se slik ut:

Arealet av prismets grunnflate er lengde gange bredde. Når vi multipliserer arealet av grunnflaten med høyden, finner vi volumet.

Grunnflate = lengde · bredde = l · b

Volum : V = Grunnflate · h = l · b · h

Et rett firkantet prisme er avgrenset av flater hvor to og to er like. Overflaten blir:

Overflate: O = 2lb + 2lh + 2bh

Test deg selv

Sylinder

Volum:

<tex>V = Gh= \pi \cdot r^2 \cdot h </tex>

Overflate:

<tex> O = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h </tex>

Man regner her med at sylinderen har et lokk, altså en overflate på toppen også. Dersom den ikke har det blir overflaten:

<tex> O = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h </tex>

Test deg selv

Pyramide

<tex>V </tex>

<tex>V </tex>

Test deg selv

Kjegle

<tex>V = \frac{1}{3}\pi r^2h </tex>

<tex>V </tex>

<tex>V = </tex>

Test deg selv

Kule

Volum:

<tex>V = \frac{4}{3}\pi r^3 </tex>

Eksempel

En kule har radius 4 cm. Hva er volumet?

<tex>V = \frac{4}{3}\pi (4cm)^3 = 268,1 cm^3 </tex>

Eksempel

En kule har volum <tex>712cm^3</tex>. Hva er radiusen?

<tex>V = \frac{4}{3}\pi r^3 \\ r = \sqr[3]{\frac{2V}{4 \pi}} \\ r = \sqr[3]{\frac{3 \cdot 268,1 cm^3}{4 \pi}} = 4</tex>

Overflate:

<tex>O = 4 \pi r^2 </tex>

Eksempel

En kule har radius 6 cm. Hva er overflaten?

<tex>O = 4 \pi r^2 = 4 \pi (6cm)^2 = 452,4 cm^2 </tex>

Eksempel

En kule har overflate <tex>400cm^2</tex>. Hva er diameteren?

<tex> O = 4 \pi r^2 \\ r= sqrt{ \frac{O}{4 \pi}} \\ r= sqrt{ \frac{400 cm^2}{4 \pi}}= 5,64</tex>

d = 2r = 11,3 cm.

Test deg selv

---

Tilbake til Ungdomstrinn Hovedside

Tilbake til hovedside