Bokstavregning

Algebra, eller bokstavregning, viser generelle sammenhenger. Tallregning eller aritmetikk gir oss mer spesielle sammenhenger.

Hvorfor bokstaver?

En sirkel har radius 10 cm. Hva er arealet av sirkelen?

Arealet blir: <tex>A= 10cm \cdot 10cm \cdot \pi = 314,2 cm^2</tex>. Men, det gjelder bare når radius i sirkelen er 10 cm. For alle andre radier er dette arealet feil.

Et areal som gjelder for alle radier er: <tex> A= \pi r^2</tex>

Bokstaver gir en formel som er allmenngyldig mens aritmetikken (tallregning)fokuserer på en eller flere spesielle tallverdier.

Regneregler

Se på uttrykket 2x + 4ab

• LEDD, utrykket består av to ledd, 2x og 4ab. Ledd adskilles med pluss eller minus.
• FAKTOR, leddet 2x er et PRODUKT av to faktorer; 2 og x. Faktorer adskilles med multiplikasjonstegn (gangetegn). Dersom det ikke kan missforståes er det vanlig å utelate multiplikasjonstegnet. 4ab er et produkt av faktorene 4, a og b. Man kunne ha skrevet 4ab som 4∙a∙b, men siden det ikke er grunnlag for å misforstå sløyfer vi gangetegnet.

Når man regner med tall og parenteser har man muligheten til å trekke sammen parentesene før man løser de opp, i algebra er denne muligheten begrenset da man ikke uten videre kan trekke sammen for eksempel a + b.

Regel:

a + b = b + a

Eksempel:

4 + 2 = 2 + 4 = 6

Test deg selv

Regel:

(a + b) + c = a + (b + c)

Eksempel:

(a+5)+a = a +(5+a) = 2a+5

Test deg selv

Regel:

a + a + a + a = 4a

Eksempel:

a + b + 4 + 3a - 2 -b = 4a - 2

Test deg selv

Regel:

<tex> a \cdot a \cdot a = a^3</tex>

Eksempel:

<tex> 3 \cdot x \cdot 2 \cdot y \cdot x \cdot y \cdot y = 3 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y = 6x^2y^3</tex>

Test deg selv

Regel:

<tex> a \cdot b = b \cdot a </tex>

Eksempel:

<tex>y \cdot x \cdot 3 \cdot y = 3xy^2</tex>

Test deg selv

Regel:

(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

Eksempel:

<tex>(5+2x)(x+3y) = 5x+15y+2x^2+6xy</tex>

Test deg selv

Regel:

a(b + c) = ab + ac

Eksempel:

3(2x +y) = 6x+3y

Test deg selv

Første kvadratsetning

<tex>(a +b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</tex>

Grafisk kan formelene over se slik ut:

Eksempel

Regn ut:

<tex> (x+2)^2 </tex>

Man får:

<tex>(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4</tex>

Test deg selv

Eksempel

Faktoriser <tex>9 + 12x + 4x^2</tex>

Man får:

<tex> 9 + 12x + 4x^2 = (3 + 2x)^2 </tex>

For å kjenne igjen kvadratsetningene denne veien må man ha øvd en del samtidig som man alltid må ha dem i bakhodet når det er snakk om faktorisering.

Test deg selv

Andre kvadratsetning

<tex>(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 </tex>

Regn ut <tex>(x - 2y)^2</tex> <tex> </tex>

Regn ut <tex>(x - 2y)^2</tex>

<tex>x^2- 4xy + 4y^2 </tex>

Eksempel 11:

Man får: (x - 2y)2 = x 2- 4xy + 4y2

Eksempel 12: Faktoriser 81a2 - 36a + 4

Løsning: 81a2 - 36a + 4 = (9a - 2)2

Konjugatsetningen (3. Kvadratsetning)

<tex>a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)</tex>

Grafisk kan likningen tolkes slik:

Regn ut <tex>(x - 2y)^2</tex> <tex> </tex>

Regn ut <tex>(x - 2y)^2</tex> <tex> </tex>

Eksempel 13: Faktoriser x2 - 4y2

Man får: x2 - 4y2 = (x-2y)(x+2y)

Eksempel 14: Faktoriser x 2-1

Løsning: x 2-1 = (x-1)(x+1)

Her er det viktig å huske at 1 = 12

Forkorting

Poenget med å forkorte et uttrykk er ønsket om å skrive det enklest mulig. Dersom et brøk uttrykk har en fator med samme verdi både i teller og nevner kan disse forkortes. Før man forkorter må man faktorisere. Det er ikke alle uttrykk som lar seg forkorte.

Fra tallregningen er vi vant med at svaret blir et tall bestående av et eller flere siffer. Når man driver med bokstavregning blir svaret gjerne en blanding av tall, bokstaver og brøk.

Eksempel 15: Forkort uttrykket:

Løsning:

Eksempel 16: Forkort uttrykket:

Løsning:

Eksempel 17: Forkort uttrykket:

Løsning:

Eksempel 18: Forkort uttrykket:

Vi ser at (x-1) er en faktor i både teller og nevner, derfor kan vi forkorte den bort. Det blir imidlertid stående en igjen. Det er bare når vi har faktorer at vi kan forkorte. Dersom vi har et ledd kan vi ikke forkorte, selv om leddet er en del av en faktor. (Vi kan selvfølgelig forkorte hele faktoren dersom det er mulig.) 

Hvilket av de to svarene vi velger avhenger av smak og behag og hva vi skal bruke resultatet til. Begge bør bli godtatt.

Eksempel 19: Skriv enklest mulig:

Husk at når du forkorter blir det alltid en igjen. Selv om vi har forkortet bort tre u'er i teller og nevner står vi fortsatt igjen med en i teller

Eksempel 20: Skriv enklest mulig:

Av og til må man bare akseptere at utrykket ikke kan forkortes. Da er det bare å sette to streker under svaret. Det kunne jo være fristende å prøve å forkorte a'ene, men det er ikke mulig da a'ene i teller ikke er en faktor, men et ledd.

Eksempel 21: Skriv enklest mulig:

Vi skal prøv å forenkle utrykket. Det ser jo ikke spesielt lovende ut her.. Vel, hovedregelen når vi skal forenkle brøkuttrykk er å tenke faktorisering. Vi ser at telleren er andre kvadratsetning og kan skrives som (w - 3)(w - 3). I nevner ser vi at tallet to kan settes utenfor en parentes. Utrykket i parentesen gjenkjenner vi som konjugatsetningen. Vi får: 

Eksempel 22: Trekk sammen og skriv enklest mulig:

Regelen er at vi multipliserer ut alle parentesene først. Deretter samler vi andregradsleddene for seg, førstegradsleddene for seg og tallene for seg. Dette er enkelt nok, men tidkrevende. Vær forsiktig, det er lett å gjøre fortegnsfeil her!

Eksempel 23: Skriv enklest mulig:

Først finner vi fellesnevner. Sett utrykket på felles brøkstrek. Multipliser ut i teller og trekk sammen. La nevner stå faktorisert. Når teller er regnet ut faktoriseres den. Forkort det som er mulig, i dette tilfellet 2∙2.