Forskjell mellom versjoner av «Integrasjon ved delbrøkoppspalting»
Linje 2: | Linje 2: | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
− | + | '''Eksempel 1:'''<p></p> | |
<tex> \int \frac{2x+3}{x^2-4}dx = \int \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)}dx =\int (\frac{A}{(x-2)}+ \frac | <tex> \int \frac{2x+3}{x^2-4}dx = \int \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)}dx =\int (\frac{A}{(x-2)}+ \frac | ||
{B}{(x+2)})dx | {B}{(x+2)})dx | ||
Linje 20: | Linje 20: | ||
{1}{4(x+2)})dx = \frac 74 ln|x-2| + \frac14 ln|x+2| + C </tex> | {1}{4(x+2)})dx = \frac 74 ln|x-2| + \frac14 ln|x+2| + C </tex> | ||
+ | |||
+ | </blockquote> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
+ | </blockquote> | ||
+ | |||
+ | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
</blockquote> | </blockquote> |
Revisjonen fra 4. feb. 2011 kl. 13:56
Dersom man har en brøkfunksjon med en nevner som har høyere grad enn en og kan faktoriseres kan delbrøkoppspalting være en metode som fører til et resultat. Man ønsker å skrive en brøk med høyere grad enn en i nevner som summen av brøker med førstegradsuttrykk i nevneren. Teknikken illustres best med et eksempel.
Eksempel 1:
<tex> \int \frac{2x+3}{x^2-4}dx = \int \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)}dx =\int (\frac{A}{(x-2)}+ \frac {B}{(x+2)})dx
</tex>
Man må så bestemme A og B. Det gjøres ved å løse likningen:
2x+3 = (x + 2)A + (x - 2)B
Velger x slik at parantesen forran A blir null og får x=-2 som gir:
<tex>-1 = -4B</tex>
<tex>B= \frac14</tex>
Velger så x slik at parantesen foran B blir null, x = 2:
<tex>7 = 4A</tex>
<tex>A = \frac74</tex>
Integralet blir da:
<tex> \int \frac{2x+3}{x^2-4}dx = \int \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)}dx =\int (\frac{7}{4(x-2)}+ \frac {1}{4(x+2)})dx = \frac 74 ln|x-2| + \frac14 ln|x+2| + C </tex>