R2 2023 høst LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Quiz (diskusjon | bidrag)
Quiz (diskusjon | bidrag)
Linje 264: Linje 264:
Bruker Geogebra.
Bruker Geogebra.


[[File: R2_H23_del2_4b.png]]
[[File: R2_H23_del2_4b.png|600px]]


Jeg bruker opplysningen om at M(13)=27 for å finne k (se linje 2 i CAS). Deretter tegner jeg en grafene N og P, med hver sin k-verdi fra linje 2. Jeg ser at den oransje grafen til N stemmer med at forurensningen øker på morgenen (fra ca. kl. 6) og avtar på kvelden (fra ca. kl. 18). Det vil si at k=-3.042. Jeg angir dette i CAS (linje 3), og løser M(t)=27. Da får jeg tidspunktene t=13 og t=22.24
Jeg bruker opplysningen om at M(13)=27 for å finne k (se linje 2 i CAS). Deretter tegner jeg en grafene N og P, med hver sin k-verdi fra linje 2. Jeg ser at den oransje grafen til N stemmer med at forurensningen øker på morgenen (fra ca. kl. 6) og avtar på kvelden (fra ca. kl. 18). Det vil si at k=-3.042. Jeg angir dette i CAS (linje 3), og løser M(t)=27. Da får jeg tidspunktene t=13 og t=22.24

Sideversjonen fra 20. jul. 2024 kl. 19:35

Oppgaven som PDF

Løsningsforslag fra Lektor Seland

Videoløsning del 1 av Lektor Lainz

Videoløsning del 2 av Lektor Lainz

Løsningsforslag laget av OpenMathBooks prosjektet

DEL 1

Oppgave 1

11(x3+2x)dx

=[14x4+x2]11

=(14+1)(14+1)=0

Svaret forteller meg enten at arealet av området som er avgrenset av grafen, x-aksen og linjene x = −1 og x = 1 er lik 0, eller at det er et like stort område over og under x-aksen i dette intervallet. Det er det siste som er tilfellet her.

Oppgave 2

Den blå grafen er g(x)=sin x, fordi sin(0)=0. Den rød grafen er da f(x)=cos x, og den krysser y-aksen i y=1 fordi cos(0)=1.

Skjæringspunkt mellom f og g:

sinx=cosx

x=π4+kπ

Skjæringspunktene mellom f og g i det fargelagte området:

x=3π4 og x=π4

Areal av det fargelagte området:

3π4π4cosxdx3π4π4sinxdx

=(sin(π4)sin(3π4)(cos(π4)+cos(3π4))

=22(22)(22+(22))

=222+222=422=22

Arealet av det fargelagte området vist på figuren er 22.

Oppgave 3

a)

S=a11k

Siden rekken konverger mot 8 må k være 12 :

8=41kk=12


S4=4+2+1+12=7,5

b)

I en aritmetisk rekke øker leddene med en fast verdi d.

a1=a43d

a7=a4+3d

a1+a4+a7=114

a43d+a4+a4+3d=114

3a4=114

a4=38

Oppgave 4

a)

Vi har α:x2y+2z+1=0 og A(4,2,2)

nα=[1,2,2]

l={x=4+ty=22tz=2+2t

b)

d=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2, der (x0,y0,z0) er koordinatene til punkt A.

=1422+22+112+(2)2+22

=59=53

Asvtanden fra A til α er 53

Oppgave 5

a)

Programmet regner ut arealet av flaten som er avgrenset av f(x), x- aksen, linjen x = -2 og linjen x = 2.

b)

f(x)=x21

Funksjonen har nullpunkter for x=-1 og x= 1. Mellom disse ligger den under x aksen. Den er symmetrisk om y-aksen. Vi integrerer fra -2 til -1 og fra -1 til 0. Til slutt multipliserer vi med 2, for å finne hele arealet.

A=2(21(x21)dx+|10(x21))dx|

=2([13x3x]21+|[13x3x]10)|

=2((13+1)(83+2)+|((0)(13+1)|

=2(43+23)

=263

=4

Oppgave 6

Arealet av sideflaten BCGF er

12|BF×BC|+12|GF×GC|

Regner ut BF×BC

=|ijk113400|

=0i12j4k

=[0,12,4]

Regner ut GF×GC

=|ijk200113|

=0i+6j+2k

=[0,6,2]

Arealet av sideflaten BCGF er

12|BF×BC|+12|GF×GC|

12|[0,12,4]|+12|[0,6,2]|

=1202+122+42+1202+62+22

=12160+1240

=12410+12210

=310

DEL 2

Oppgave 1

a)

Bruker regresjonsanalyse i Geogebra og velger en sinusfunksjon som modell.

Modellen for vannstanden ved verftet er f(x)=31sin(0,514x+0,19)+83,6

b)

Bruker CAS i Geogebra. Den 25. april begynner 24 timer etter 24. april. Ifølge modellen vil vannstanden øke raskest ca. 24,1t og 36,3t etter 24. april, altså like etter midnatt og like etter kl. 12 den 25. april.

c)

Løser oppgaven grafisk i Geogebra denne gangen.

De kan senest starte med å slepe ut plattformen 42 - 2 = 40 timer etter 24. april, altså kl. 16 den 25. april.

Oppgave 2

a)

P1=1

Etter det øker antall kuler i figuren med 5*(n-1) for hver figur.

P2=P1+51

P3=P2+52

Pn=Pn1+5(n1)=Pn1+5n5

b)

Programmerer i Python.

P100=24751

c)

Bruker regresjonsanalyse i Geogebra for å finne en eksplisitt formel.

Pn=2,5n22,5n+1

Vi skal vise at Pn1+5n5=2,5n22,5n+1. Bruker CAS i Geogebra.

Vi sjekker først om formelen stemmer for n=1 (se linje 2 i CAS). Formelen stemmer for n=1, siden P1=1.

Vi antar nå at formelen stemmer for n = k, og sjekker om formelen stemmer for n = k + 1. Da vil Pk+1=Pk+5(5+1)5. Se linje 3 og 4 i CAS.

Vi har nå vist at dersom formelen stemmer for n=k , må den også stemme for n=k+1. Siden formelen stemmer for n=1, stemmer den for n=2, osv. PkPk+1.

Oppgave 3

Bruker CAS i Geogebra.

Volumet av tønnen er omtrent 145 562 kubikkcentimeter, det vil si ca. 145,6 L.

Oppgave 4

a)

Vi har M(t)=Asin(ct+k)+d

Perioden er på 24 timer.

2πc=24

c=π12

Amplituden A:

A=31,218,22=132=6,5

Likevektslinja d:

d=18,2+132=24710=24,7

b)

Bruker Geogebra.

Jeg bruker opplysningen om at M(13)=27 for å finne k (se linje 2 i CAS). Deretter tegner jeg en grafene N og P, med hver sin k-verdi fra linje 2. Jeg ser at den oransje grafen til N stemmer med at forurensningen øker på morgenen (fra ca. kl. 6) og avtar på kvelden (fra ca. kl. 18). Det vil si at k=-3.042. Jeg angir dette i CAS (linje 3), og løser M(t)=27. Da får jeg tidspunktene t=13 og t=22.24

Det andre tidspunktet luftforurensningen er på 27μg/m3 er ca. kl. 22:14.

Oppgave 5