R2 2023 høst LØSNING

Oppgaven som PDF

Løsningsforslag fra Lektor Seland

Videoløsning del 1 av Lektor Lainz

Videoløsning del 2 av Lektor Lainz

Løsningsforslag laget av OpenMathBooks prosjektet

DEL 1

Oppgave 1

$\int_{-1}^{1}(x^3+2x)dx$

$=[\frac 14 x^4+x^2]_{-1}^{1}$

$=(\frac 14+1)-(\frac 14+1)=0$

Svaret forteller meg enten at arealet av området som er avgrenset av grafen, x-aksen og linjene x = −1 og x = 1 er lik 0, eller at det er et like stort område over og under x-aksen i dette intervallet. Det er det siste som er tilfellet her.

Oppgave 2

Den blå grafen er g(x)=sin x, fordi sin(0)=0. Den rød grafen er da f(x)=cos x, og den krysser y-aksen i y=1 fordi cos(0)=1.

Skjæringspunkt mellom f og g:

$sin\, x = cos\, x$

$x = \frac{\pi}{4} +k\pi$

Skjæringspunktene mellom f og g i det fargelagte området:

$x=-\frac{3\pi}{4}$ og $x=\frac{\pi}{4}$

Areal av det fargelagte området:

$\int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} cos\,x\,dx - \int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} sin\,x\,dx$

$=(sin\,(\frac{\pi}{4}) - sin (-\frac{3\pi}{4})-(-cos\,(\frac{\pi}{4})+cos(-\frac{3\pi}{4}))$

$=\frac{\sqrt2}{2}-(-\frac{\sqrt2}{2})-(-\frac{\sqrt2}{2}+(-\frac{\sqrt2}{2}))$

$=2\frac{\sqrt2}{2}+2\frac{\sqrt2}{2}=4\frac{\sqrt2}{2}=2\sqrt2$

Arealet av det fargelagte området vist på figuren er $2\sqrt2$.

Oppgave 3

a)

$S = \frac{a_1}{1-k}$

Siden rekken konverger mot 8 må k være $\frac 12 $ :

$8 = \frac{4}{1-k} \Rightarrow k= \frac 12$

$S_4 = 4+2+1+ \frac 12 = 7,5$

b)

I en aritmetisk rekke øker leddene med en fast verdi d.

$a_1 = a_4 - 3d $

$a_7 = a_4 + 3d$

$a_1 + a_4 + a_7 = 114$

$a_4 -3d + a_4 + a_4 +3d =114$

$3 a_4 = 114$

$a_4 = 38$

Oppgave 4

a)

Vi har $\alpha: x-2y+2z+1=0$ og $A(4,2,2)$

$\vec{n}_{\alpha}=[1,-2,2]$

$l=\begin{cases} x = 4+t \\ y = 2-2t \\ z = 2+2t \end{cases}$

b)

$d=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$, der $(x_0,y_0,z_0)$ er koordinatene til punkt A.

$=\frac{1\cdot4-2\cdot2+2\cdot2+1}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}$

$=\frac{5}{\sqrt9}=\frac53$

Asvtanden fra A til $\alpha$ er $\frac{5}{3}$

Oppgave 5

a)

Programmet regner ut arealet av flaten som er avgrenset av f(x), x- aksen, linjen x = -2 og linjen x = 2.

b)

$f(x) = x^2-1$

Funksjonen har nullpunkter for x=-1 og x= 1. Mellom disse ligger den under x aksen. Den er symmetrisk om y-aksen. Vi integrerer fra -2 til -1 og fra -1 til 0. Til slutt multipliserer vi med 2, for å finne hele arealet.

$A= 2 \cdot ( \int_{-2}^{-1}(x^2-1)dx +| \int_{-1}^{-0}(x^2-1))dx | $

$ = 2 \cdot ( [\frac 13 x^3- x ]_{-2}^{-1} + | [ \frac 13 x^3 - x]_{-1}^{0}) | $

$= 2 \cdot ( (\frac {-1}{3}+1) -( \frac {-8}{3} +2) + | ((0)- (\frac{-1}{3} + 1) |$

$ = 2 \cdot ( \frac 43 + \frac 23) $

$ = 2 \cdot \frac 63 $

$= 4$