Rekker

De naturlige tallene

1, 2, 3, 4 ,5, ......

Rekken blir:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ............ + n

Leddets verdi er avhengig av posisjon i rekken. Dersom vi ser på ledd nummer fire, så er verdien 4, ledd fem har verdien 5 osv.

Den eksplisitte formelen blir da:

$a_n=n$

På den måten kan vi finne verdien til ledd nr. n.

Dersom vi kjenner verdien og plassen til ett ledd kan vi finne det neste. vi vet at ledd nr. n har verdien n. Siden dette er de naturlige tallene er forskjellen mellom to naboledd lik en.

Den rekkusive formelen blir da:

$a_{n+1} = a_n +1$

Kvadrater

Kvadrattallene er:

1, 4, 9 , 16, 25, ..............

Rekken blir :

1+ 4+9+16+25+ .......

Å finne formelen for leddene her er ikke så lett som for de naturlige tallene, fordi verdien til leddene endrer seg med kvadratet av posisjonen.

Rekken kan skrives slik:

$1^2 + 2^2 +3^2 + 4^2+ ..............+ n^2$

Eksplisit formel blir:

$a_n = n^2$

Rekkusivformel:

$a_{n+1} = ( \sqrt{a_n} +1)^2 = a_n + 2 \sqrt{a_n} +1 = a_n + 2n+1$

Trekanter

Rekken

1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 +......

Representerer trekanttallene.

Eksplisit formel: $a_n = \frac {n(n+1)}{2}$ og rekursiv formel : $a_{n+1} = a_n + n +1$.

Rektangeler

Vi kan ha mange forskjellige. Her er en:

2 + 6 + 12 + 20 + .....

Det første rektangelet har lengde to og bredde en. Det andre lengde tre og bredde to, osv.

Eksplisit formel:

$a_n = (n+1)n = n^2+n$

Rekkusiv formel:

$a_{n+1} = a_n +2n$

Aritmetisk progresjon

En aritmetisk følge er en tallfølge, $\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ ($\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$), slik at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant; <math>a_{i+1}-a_i=d</math>.

Eksempel

Vi kan definere en spesiell aritmetisk følge ved at <math>a_{i+1}-a_i=2</math>. For at denne følgen skal være unikt bestemt må vi definere en startverdi, f.eks. <math>a_1=3</math>. Følgen <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</math> er nå entydig bestemt siden formlene over gir at <math>a_2-a_1=a_2-3=2</math>. Dette gir at <math>a_2=2+3=5</math>. Videre er <math>a_3-a_2=a_3-5=2</math>, så <math>a_3=2+5=7</math> osv.

Test deg selv

Aritmetisk rekke (sum)

En aritmetisk rekke er summen av leddene <math>a_i</math> i en aritmetisk progresjon <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</math> med et endelig antall ledd <math>N</math>. Den <math>n</math>-te partialsummen(delsummen) er summen av de <math>n\leq N</math> første leddene i rekken og kan defineres ved at <math>S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i</math>. Siden <math>a_{i+1}=d+a_i</math> for aritmetiske følger, kan vi utlede en lukket form for den aritmetiske rekken av <math>n</math> ledd:

<math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-1)d)=na_1+\sum_{i=1}^n (i-1)d=na_1+d\sum_{i=0}^{n-1} i=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d</math>

Merk at formelen kun avhenger av startverdien <math>a_1</math> og den konstante differansen <math>d</math>.

Alternativt kan vi uttrykke den samme aritmetiske rekken ved <math>S_n=\sum_{i=1}^na_i=\frac{a_1+a_n}{2}n</math>. Ideen her er å finne gjennomsnittsverdien av par av ledd: Første og siste ledd har et gjennomsnitt <math>\frac{a_1+a_n}{2}</math>. Andre og nest siste ledd har samme gjennomsnitt osv. Siden summen består av n ledd der hvert ledd har et gjennomsnitt på <math>\frac{a_1+a_n}{2}</math>, blir summen <math>\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n</math>.

Eksempel

La oss se på den endelige følgen <math>(a_i=i)_{i\in [1,10]}=\{1,2,\ldots ,10\}</math> Da blir summen <math>S=\sum_{i=1}^{10}i=\frac{1+10}{2}\cdot 10 = 55</math>

Geometrisk rekke=

En geometrisk progresjon <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> er en tallfølge der hvert tall er et konstant multippel av det forrige, dvs <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=k</math>.

Slike tallfølger kan skrives på formen <math>a_n=a_1k^{n-1}</math>

Test deg selv

Geometrisk rekke

En geometrisk rekke er summen av elementene i en geometrisk progresjon.

For geometriske rekker <math>a_n=a_1k^{n-1}</math> er <math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1\frac{k^n-1}{k-1}</math>

Bevis for summeformel

Betrakt tallet <math>(k-1)(1+k+k^2+k^3+ \ldots +k^n)</math>. Ganger vi ut parentesene, får vi <math>(k+k^2+k^3+ \ldots + k^{n+1})-(1+k+k^2+k^3+ \ldots + k^n) = k^{n+1}-1</math>. Men dersom

<math>(k-1)(1+k+k^2+ \ldots + k^n) = k^{n+1}-1</math>

kan vi dele med faktoren <math>(k-1)</math> på begge sider og få

<math>\sum_{i=0}^{n}k^i = 1+k+k^2+ \ldots + k^n = \frac{k^{n+1}-1}{k-1} </math>

Multipliserer vi så med <math>a_1</math> på begge sider, vil vi oppnå summeformelen, og beviset er ferdig.

Uendelige geometriske rekker

Dersom $-1<k<1$ i en geometrisk tallfølge $a_n=a_1k^{n-1}$ sier vi at den konvergerer. Det vil si at summen av uendelig mange etterfølgende elementer i følgen har en endelig verdi.

I slike tilfeller er $\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i=\frac{a_1}{1-k}$