S2 2023 høst LØSNING

Oppgave 1

$\int_{-1}^{1}(x^3+2x) dx = [\frac 14 x^4 + x^2]_{-1}^{1} = (\frac 14 +1) - ( \frac 14 +1) = 0$

Arealet avgrenset av grafen, x-aksen og linjen x=-1 er lik arealet avgrenset av linjen x =1. grafen og x-aksen. Den ene delen ligger under x-aksen, den andre over. Grafen går gjennom origo og vi har symmetri om origo.

Oppgave 2

a)

$S = \frac{a_1}{1-k}$

Siden rekken konverger mot 8 må k være $\frac 12 $ :

$8 = \frac{4}{1-k} \Rightarrow k= \frac 12$

$S_4 = 4+2+1+ \frac 12 = 7,5$

Oppgave 5

a)

Forventningsverdi 𝐸(𝑋) E(X) Vi har tre typer kuler som veier henholdsvis 4 kg, 5 kg og 10 kg. Sannsynligheten for å trekke en kule som veier 4 kg er 1 4 4 1 ​

, og sannsynligheten for å trekke en kule som veier 5 kg er 

1 2 2 1 ​

. Siden den totale sannsynligheten må være 1, kan vi finne sannsynligheten for å trekke en kule som veier 10 kg:

𝑃 ( 𝑋 = 10 ) = 1 − 𝑃 ( 𝑋 = 4 ) − 𝑃 ( 𝑋 = 5 ) = 1 − 1 4 − 1 2 = 1 − 1 4 − 2 4 = 1 − 3 4 = 1 4 P(X=10)=1−P(X=4)−P(X=5)=1− 4 1 ​

− 

2 1 ​

=1− 

4 1 ​

− 

4 2 ​

=1− 

4 3 ​

= 

4 1 ​

Sannsynlighetsfordelingen til 𝑋 X er dermed: 𝑃 ( 𝑋 = 4 ) = 1 4 P(X=4)= 4 1 ​

𝑃 ( 𝑋 = 5 ) = 1 2 P(X=5)= 2 1 ​

𝑃 ( 𝑋 = 10 ) = 1 4 P(X=10)= 4 1 ​

For å finne forventningsverdien 𝐸 ( 𝑋 ) E(X), bruker vi formelen for forventningsverdi: 𝐸 ( 𝑋 ) = ∑ 𝑖 𝑥 𝑖 𝑃 ( 𝑋 = 𝑥 𝑖 ) E(X)=∑ i ​

x 

i ​

P(X=x 

i ​

)

Her er 𝑥 𝑖 x i ​

 de forskjellige verdiene 

𝑋 X kan ta, og 𝑃 ( 𝑋 = 𝑥 𝑖 ) P(X=x i ​

) er sannsynligheten for hver av disse verdiene.

𝐸 ( 𝑋 ) = 4 ⋅ 1 4 + 5 ⋅ 1 2 + 10 ⋅ 1 4 E(X)=4⋅ 4 1 ​

+5⋅ 

2 1 ​

+10⋅ 

4 1 ​

𝐸 ( 𝑋 ) = 1 + 2.5 + 2.5 = 6 E(X)=1+2.5+2.5=6

Forventningsverdien 𝐸 ( 𝑋 ) E(X) er 6 kg.