1T 2024 vår LK20 LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsning laget av Sindre Sogge Heggen

Del 1

Oppgave 1

a)

Tangens til vinkelen er definert som motstående katet, delt på hosliggende katet.

$\tan(u) \cdot \tan(v) = \frac{6}{8} \cdot \frac{8}{6} = 1$

Dette betyr at Tom sin påstand er riktig.

b)

I denne oppgaven skal vi avgjøre om påstanden stemmer for alle rettvinklete trekanter. En generell rettvinklet trekant kan se slik ut:

$tan(u) \cdot tan(v) = \frac{B}{A} \cdot \frac{A}{B} = \frac{A}{A} \cdot \frac{B}{B} = 1$

Påstanden stemmer for alle trekanter av den typen.

Oppgave 2

Dersom P(a) = 0, er P(x) delelig på (x-a)

$P(x) = 2x^3+3x^2-11x-6$

P(0)=-6, P(-1)= 6, P(1)= -12, P(2)= 0. Vi ser også at $P(-3)= -54 + 27 + 33 -6= 0$ Vi observerer at polynomet skifter fortegn mellom P(0) og P(-1). Det kan derfor være fristende å teste om $x=- \frac{1}{2}$ er en rot i polynomet: $P(-\frac 12)= - \frac 14 + \frac 34 + 5,5 - 6 =0$

Røttene er altså $x= -3, x= - \frac 12$ og x = 2.

Polynomet P er da delelig på (x+3), (x + 0,5) og (x-2)

Dersom man deler på (x-2):

Dersom man dividerer tredjegradspolynomet på andregradspolynomet bør man jo få (x-2) som resultat:

Dersom linje tre i oppgaven er riktig må det bety at andregradspolynomet kan faktoriseres. Vi tester: $2x^2+7x+3$ og ser (ved hjelp av koefisientmetoden) at $2x^2+7x+3 = 2((x+3)(x+ \frac 12))$

$P(x) = 2x^3+3x^2-11x-6 = ( 2x^2+7x+3)(x-2) = 2(x-2)(x+ \frac 12)(x + 3)$

Guri KAN ha utført de to divisjonene vist i oppgaven. Faktoriseringen hennes er riktig, men ikke fullstendig.

Oppgave 3

Stort kvadrat minus lite kvadrat:

$a((a-b)+b) - (b\cdot b) = a \cdot a - b \cdot b = a^2-b^2$

Sum av stort rektangel pluss lite rektangel:

$a(a-b) + b(a-b) = a^2-ab +ab - b^2 = a^2-b^2$

Ett eksempel på en identitet, med utgangspunkt i grønt areal er: $a(a-b) + b(a-b) = a^2 - b^2$

Oppgave 5

Generelt: $f(x) = ax^2+bx+c$

Fra figuren leser vi at f(0) =24, dvs c=24

Videre har vi fra figuren at f(-3)= 0 og f(4)= 0 hvilket betyr at (x+3) og (x-4) er faktorer i funksjonen: $(x+3)(x-4) = x^2-x -12$

Vi ser fra konstantleddet c at vi må multiplisere med -2 for å få 24:

f(x) = -2(x^2-x-12)= -2x^2+2x+24$