1T 2024 vår LK20 LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsning laget av Sindre Sogge Heggen

Del 1

Oppgave 1

a)

Tangens til vinkelen er definert som motstående katet, delt på hosliggende katet.

$\tan(u) \cdot \tan(v) = \frac{6}{8} \cdot \frac{8}{6} = 1$

Dette betyr at Tom sin påstand er riktig.

b)

I denne oppgaven skal vi avgjøre om påstanden stemmer for alle rettvinklete trekanter. En generell rettvinklet trekant kan se slik ut:

$tan(u) \cdot tan(v) = \frac{B}{A} \cdot \frac{A}{B} = \frac{A}{A} \cdot \frac{B}{B} = 1$

Påstanden stemmer for alle trekanter av den typen.

Oppgave 2

Dersom P(a) = 0, er P(x) delelig på (x-a)

$P(x) = 2x^3+3x^2-11x-6$

P(0)=-6, P(-1)= 6, P(1)= -12, P(2)= 0. Vi ser også at $P(-3)= -54 + 27 + 33 -6= 0$ Vi observerer at polynomet skifter fortegn mellom P(0) og P(-1). Det kan derfor være fristende å teste om $x=- \frac{1}{2}$ er en rot i polynomet: $P(-\frac 12)= - \frac 14 + \frac 34 + 5,5 - 6 =0$

Røttene er altså $x= -3, x= - \frac 12$ og x = 2.

Polynomet P er da delelig på (x+3), (x + 0,5) og (x-2)

Dersom man deler på (x-2):

Dersom man dividerer tredjegradspolynomet på andregradspolynomet bør man jo få (x-2) som resultat:

G

med en av faktorene, for eksempel

$x−2$

Hvis vi får den andre faktoren som kvotient, bekrefter det at faktoriseringen er riktig.

Divisjon av det opprinnelige polynomet med kvotienten:

Vi kan også dele det opprinnelige polynomet

$2x^3+3x^2−11x−6$

med kvotienten

$2x^2+7x+3$

Hvis vi får

$x−2$

som resultat, bekrefter det også at faktoriseringen er riktig.

Oppgave 3

Stort kvadrat minus lite kvadrat:

$a((a-b)+b) - (b\cdot b) = a \cdot a - b \cdot b = a^2-b^2$

Sum av stort rektangel pluss lite rektangel:

$a(a-b) + b(a-b) = a^2-ab +ab - b^2 = a^2-b^2$

Ett eksempel på en identitet, med utgangspunkt i grønt areal er: $a(a-b) + b(a-b) = a^2 - b^2$