R1 2023 Vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag fra Lektor Seland

Løsningsforslag fra Farhan Omar

Løsningsforslag fra Lektor Trandal

DEL 1

Oppgave 1

$f(x)=e^x+ln\,x$

$f'(x)=e^x+\frac{1}{x}$

Oppgave 2

\[ \lim_{x\to 2} \frac{x^3-8}{x^2-4} = \frac{2^3-8}{2^2-4} = \frac{0}{0}\]

Bruker l'Hôpitals regel og deriverer teller og nevner hver for seg.

\[ \lim_{x\to 2} \frac{3x^2}{2x}=\frac{3\cdot 2^2}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3\]

Oppgave 3

a)

Vi har $A=(1,3), B=(4,0)$ og $C=(9,4)$

$\overrightarrow{BA} = [1-4, 3-0] = [-3,3]$

$\overrightarrow{BC} = [9-4, 4-0] = [5,4]$

Vi har $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot cos\,\alpha$, hvor $\alpha$ er vinkelen mellom vektorene.

Regner ut skalarproduktet av vektorene:

$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = -3\cdot5+3\cdot4=-15+12=-3$

Siden skalarproduktet av de to vektorene er negativt, er $cos\,\alpha$ negativ, og vinkelen mellom vektorene er større enn 90 grader.

b)

Vi ønsker å finne et punkt P på linjen som går gjennom punktene B og C, slik at $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP}= 0$

$\overrightarrow{AB} = [4-1, 0-3] = [3,-3]$

Linjen som går gjennom $B=(4,0)$ og $C=(9,4)$ kan uttrykkes ved:

$l:\begin{cases} x=4+5t \\ y= 4t \end{cases}$

$\overrightarrow{AP} = [4+5t-1, 4t-3] = [5t+3,4t-3]$