S1 2019 vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

Oppgave 1

a)

$3^{x-5} = 81 \\ 3^{x-5} = 3^4 \\ x-5 = 4 \\ x=9 $

b)

$x^2-7x+10 =0$

Faktoriserer

$x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)$

Finner nullpunktene:

$(x-2)(x-5)=0 \\ x=2 \vee x = 5$

Kan også bruke abc - formelen for faktorisering.

c)

$lg(x+3) - lgx = 1 \quad x>0 \\ lg ( \frac{x+3}{x} )= 1 \\ 10^{lg(\frac {x+3}{x} )}= 10^1 \\ \frac{x+3}{x} = 10 \\ x+3 = 10x \\ 9x = 3 \\ x = \frac{1}{3}$

Oppgave 2

a)

$ \frac{16^2 \cdot 27^3}{72^2 \cdot 12} \\= \frac{(2^4)^2 \cdot (3^3)^3}{(2^3\cdot 3^2)^2 \cdot 2^2 \cdot 3 } \\ = \frac{2^8 \cdot 3^9}{2^6 \cdot 3^4 \cdot 2^2 \cdot 3} \\ = \frac{2^8 \cdot 3^9}{2^8 \cdot 3^5} \\ = 2^{8-8} \cdot 3^{9-5} = 2^0 \cdot 3^4 = 3^4 = 81$

b)

$ \frac{x-2}{x-1} - \frac{x}{x+1} - \frac{2x}{x^2-1} \\ =\frac{(x-2) \cdot \color{red}{ (x+1)}}{(x-1) \cdot \color{red}{ (x+1)}} - \frac{x \cdot \color{red}{ (x-1)}}{(x+1) \cdot \color{red}{ (x-1)}} - \frac{2x}{(x+1)(x-1)} \\= \frac{(x^2+x-2x-2) - (x^2-x) - 2x}{(x-1)(x+1)} \\= \frac{x^2+x-2x-2-x^2+x-2x}{(x-1)(x+1)} \\ = \frac{-2x-2}{(x-1)(x+1)} \\ = \frac{-2(x+1)}{(x-1)(x+1)} \\ = - \frac{2}{x-1}$

c)

$lg( \frac{2}{x^2}) + lg (2x^2) + lg(x) - lg (4x) \\ =( lg(2) - lg(x^2)) + ( lg (2) + lg(x^2)) + lg(x) - (lg(4) + lg(x)) \\= lg(2) - 2lg(x) +lg(2) + 2lg(x) + lg(x)- lg(2^2) - lg(x) \\ = 2 lg(2) + lg(x) -2lg(2) - lg(x) \\ = 0 $

Oppgave 3

<math> \left[ \begin{align*} x^2+2y =13x \\ 3x - y =-5 \end{align*}\right] </math>

Løser andre likning og setter inn i den første.

$ y = 3x + 5$

Vi setter inn for y i den første likningen:

$x^2 + 2 (3x + 5) = 13x \\ x^2 + 6x+10 = 13x \\x^2 -7x + 10 = 0$

Fra oppgave 1b) har vi at $x_1=2$ og $x_2=5$

Fra andre likning har vi:

$y_1=3\cdot2+5=11$

$y_2=3\cdot 5+5=20$

Løsning: $x_1=2$, $y_1=11$ og $x_2=5$, $y_2=20$

Oppgave 4

a)

Pris brus = x og pris pølse = y.

<math> \left[ \begin{align*} 6x + 4y =170 \\ 5x + 10y =275 \end{align*}\right] </math>

b)

Løser en likning med hensyn på x og setter inn i den andre:

$5x=275-10y \\ x = 55 - 2y $

setter så uttrykket for x inn i den andre likningen:

$6( 55 - 2y) +4y =170 \\ 330 -12y + 4y = 170 \\ -8y = -160 \\ y = 20$

Innsatt for x får man 15. Dvs. en pølse koster 20 kroner og en brus koster 15 kroner.

Oppgave 5

a)

$ f(x) = x^3+3x \\ f ' (x) = 3x^2+3 \\ f '(1) = 3 \cdot 1 + 3 = 6 $

Når x =1 har funksjonen en momentan vekstfart på 6.

b)

Den deriverte er positiv for alle verdier av x, derfor er funksjonen voksende og har kun positive tangenter.

c)

$ f ' (x) = 15 \\ 3x^2+3 = 15 \\ 3x^2 = 12 \\ x^2 = 4 \\ x= \pm 2 $

Oppgave 8

a)

Omkrets: $ O = 4y +8x = 12 \\ 4y = 12 - 8x \\ y= 3-2x$

Areal: $A= y^2+2x^2 \\ A(x)= (3-2x)^2+2x^2 \\ A(x)= 9-12x+4x^2+2x^2 \\ A(x)= 6x^2-12x +9$

b)

$A' (x)= 12x -12 \\ A' (x)=0 \\ 12x-12 =0 \\ x=1 \\ $

Innsatt for y: $y = 3 - 2x \\ y = 3 - 2 \cdot 1 \\ y=1$

Det minste arealet får man når både x = 1 og y = 1.