S1 2019 høst LØSNING

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Svein Arneson

Løsningsforslag del 1 laget av Emilga

Løsningsforslag del 2 laget av Kristian Saug

Oppgaven som pdf

DEL 1

Oppgave 1)

a)

$x^2+4x-12=0 \\ (x-2)(x+6)=0 \\ x=-6 \vee x=2$

b)

$lg(5-2x)=1 \\ 5-2x =10 \\ -2x = 5 \\ x= -\frac{5}{2}$

Oppgave 2)

$x^2-2x<0$

Finner nullpunktene.

$x(x-2)=0 \\ x=0 \vee x=2$

$x^2-2x<0$ når $0<x<2$

Oppgave 3)

$x^2+4y=4x \\ 4x-2y=6$

Ganger likning II med 2 og bruker addisjonsmetoden.

Likning II ganger 2:

$8x-4y=12$

Legger sammen likningene:

$x^2+4y+8x-4y=4x+12 \\ x^2+4x-12=0 \\ x_1=-6 \vee x_2=2$

(Samme likning som i oppgave 1a)

Gjør om likning II:

$4x-2y=6 \\ -2y=6-4x \\ y=-3+2x$

Setter inn de to x-verdiene:

$y_1=-3 + 2\cdot (-6) = -15$

$y_2=-3+2\cdot 2=1$

Løsninger:

$x_1=-6, y_1=-15 \\ x_2=2, y_2=1 $

Oppgave 4)

a)

$(a+2)^3-a\cdot(a+2)^2 \\ =(a+2)(a+2)^2-a\cdot(a+2)^2 \\ =(a+2)^2\cdot((a+2)-a) \\ =(a^2+4a+4)\cdot 2 \\ =2a^2+8a+8$

b)

$\frac{x+1}{x+2}-\frac{x+1}{x-1}-\frac{x+5}{x^2+x-2}$

$=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+2)(x-1)}-\frac{(x+1)(x+2)}{(x-1)(x+2)}-\frac{x+5}{(x+2)(x-1)}$

$=\frac{x^2-1}{(x+2)(x-1)}-\frac{x^2+3x+2}{(x-1)(x+2)}-\frac{x+5}{(x+2)(x-1)}$

$=\frac{(x^2-1)-(x^2+3x+2)-(x+5)}{(x+2)(x-1)}$

$=\frac{x^2-1-x^2-3x-2-x-5}{(x+2)(x-1)}$

$=\frac{-4x-8}{(x+2)(x-1)}$

$=\frac{-4(x+2)}{(x+2)(x-1)}$

$=\frac{-4}{x-1}=\frac{4}{1-x}$

c)

$2lg(2x^2)+lg\frac{5}{x}-lg(2x^3)$

$2lg2+2lg(x^2)+lg5-lgx-(lg2+lg(x^3))$

$2lg2 + 4lgx + lg5 - lg x -lg 2 - 3lg x$

$lg 2 + lg 5 = lg (2\cdot5) = lg 10 = 1$

Oppgave 5)

a)

$\binom{7}{3} \cdot \binom{5}{2} = \frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}\cdot\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=35\cdot10=350$

Det er mulig å sette sammen 350 komiteer.

b)

P(Anne og Jens)$=\frac{3}{7}\cdot\frac{2}{5}=\frac{6}{35}$

Sannsynligheten for at både Anne og Jens blir med i komiteen er $\frac{6}{35}$

c)

P(Anne eller Jens) = P(Anne men ikke jens) + P(Jens men ikke Anne)

$=\frac{3}{7}\cdot\frac{3}{5}+\frac{4}{7}\cdot\frac{2}{5} \\ =\frac{9}{35}+\frac{8}{35}=\frac{17}{35}$

Sannsynligheten for at én av dem blir med i komiteen er $\frac{17}{35}$

Oppgave 6)

Kantene i Pascals trekant er alltid 1-ere. Ellers er et tall i Pascals trekant summen av de to tallene over. Utregning av de to midterste tallene som mangler:

$66-11=55$

$495-330=165$

Oppgave 7)

Opplysningene gir oss følgende likningssett, hvor x er prisen for skolegang for ett barn i én måned, og y er prisen for barnehjemsplass for ett barn i én måned.

<math> \left[ \begin{align*} 2x+y=700 \\ 4x+3y=1700 \end{align*}\right] </math>

Uttrykker likning I ved y:

$y=700-2x$

Setter inn verdien av y i likning II:

$4x+3(700-2x)=1700 \\ 4x+2100-6x=1700 \\ -2x = -400 \\ x=200$

Fra likning I:

$y=700-2\cdot 200=700-400=300$

Per barn per måned koster det 200kr for skolegang og 300kr for barnehjemsplass. For 20 barn blir det totalt:

$20\cdot 200kr + 20\cdot 300kr=4000kr+6000kr=10000kr$

Klassen til Kari må samle inn 10 000 kr hver måned.

Oppgave 8)

a)

$K(x)=0,2x^2+50x+2000 \\ K'(x)=0,4x+50 \\ K'(100)=0,4\cdot100+50=40+50=90$

$K'(100)=90$ og dette forteller oss at kostnaden av å øke produksjonen fra 100 til 101 enheter er 90 kr.

b)

$O(x)=-0,3x^2+90x-2000 \\ O'(x)=-0,6x+90$

Finner ekstremalpunktet for O(x):

$O'(x)=0 \\ -0,6x+90=0 \\ -0,6x=-90 \\ x=\frac{90}{0,6} \\ x=\frac{900}{6} \\ x=150$

Vi ser at O(x) har et toppunkt i x=150. Den produksjonsmengden som gir størst overskudd er 150 enheter.

c)

$O(x)=I(x)-K(x) \\ I(x)=O(x)+K(x)$

$I(x)=(-0,3x^2+90x-2000)+(0,2x^2+50x+2000) \\ I(x) = -0,3x^2+0,2x^2+90x+50x-2000+2000 \\ I(x)=-0,1x^2+140x$

$I(100)=-0,1\cdot 100^2+140\cdot100=-0,1\cdot10000 + 14000=-1000+14000=13000$

Inntekten ved produksjon og salg av 100 enheter per dag er 13 000 kr.

d)

$O(x)=I(x)-K(x)$

$O(x)=-0,1x^2+a\cdot x - (0,2x^2+50x+2000) \\ O(x)=-0,1x^2-0,2x^2+a\cdot x-50x-2000 \\ O(x)=-0,3x^2+(a-50)x-2000$

$O'(x)=-0,6x+a-50$

Overskuddet er størst når bedriften produserer og selger 100 enheter per dag, altså har vi:

$O'(100)=0$

$-0,6\cdot 100+a-50=0 \\ -60+a-50=0 \\ a=110$

Verdien til a er 110.

Oppgave 9

a)

La x være antall pakker av type A, og y være antall pakker av type B.

Klassen bruker 3 esker fargestifter per Pakke A, og 2 esker fargestifter per Pakke B. Klassen har maksimalt 70 esker fargestifter.

$3x+2y \leq 70 \\ 2y \leq 70-3x \\ y \leq -1,5x+35$

Klassen bruker 2 sprettballer per Pakke A, og 4 sprettballer per Pakke B. Klassen har maksimalt 72 sprettballer.

$2x+4y \leq 72 \\ 4y \leq 72-2x \\ y \leq -0,5x+18 $

Klassen bruker 2 hoppestrikker per Pakke A, og 3 hoppestrikker per Pakke B. Klassen har maksimalt 60 hoppestrikker

$2x+3y \leq 60 \\ 3y \leq 60-2x \\ y \leq -\frac{2x}{3}+20$

I tillegg har vi $x \geq 0$ og $y \geq 0$ fordi klassen må lage 0 eller flere gavepakker (kan ikke lage et negativt antall gavepakker).

Dersom vi tegner disse fem ulikhetene i samme koordinatsystem, vil det skraverte området oppfylle alle ulikhetene samtidig.

b)

Vi sjekker de fire hjørnene i det skraverte området for å se hvilken fordeling av x og y som gir maksimalt antall gavepakker, x+y.

Hjørnet i (0,18) gir $0+18=18$ pakker totalt.

Hjørnet i (12,12) gir $12+12=24$ pakker totalt.

Hjørnet i (18,8) gir $18+8=26$ pakker totalt.

Hjørnet i ca. (23.5 ,0) gir $23+0=23.5$ pakker totalt.

Det maksimale antall gavepakker klassen kan lage er 18 pakker av type A og 8 pakker av type B, til sammen 26 pakker totalt.

DEL 2

Oppgave 1)

a)

Utfører regresjonsanalyse i Geogebra.

En eksponentiell modell brukes ofte for befolkningsvekst, og gir $g(x)=613.6\cdot 1.017^x$. Vi kan se i statistikken (trykk på $\Sigma x$ i Geogebra) at modellen passer godt fordi $R^2=0.9962$.

En lineær modell passer likevel enda bedre til dataene i dette tilfelle ($R^2=0.997$), og gir $g(x)=10.97x+613.34$.

b)

c)

Bruker CAS i Geogebra. Husk at folketallet i modellen $f$ er oppgitt i tusener.

Ifølge modellen $f$ vil folketallet passere 1 million etter 26,1 år. Denne oppgaven kan også løses grafisk.

d)

Definerer modellen $h(x)$ for befolkningsveksten i Stockholm (linje 2 i CAS).

$p$ må være 0,398 dersom Oslo skal ha samme folketall som Stockholm i januar 2050. Det vil si at Stockholm må ha en vekst i folketallet på 0,398% per år.