S2 2018 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Quiz (diskusjon | bidrag)
Quiz (diskusjon | bidrag)
Linje 334: Linje 334:
===c)===
===c)===


Vi ønsker alltid at startbeløpet med renter, minus utbetalinger med tapte renter, skal bli lik starbeløpet igjen. Slik kan utbetalingene fortsette evig. Bruker CAS i Geogebra for å løse likningen:
Vi ønsker alltid at startbeløpet med renter, minus utbetalinger med tapte renter, skal bli lik starbeløpet igjen. Slik kan utbetalingene fortsette evig. Bruker CAS i Geogebra for å løse likningen 906299,671,05x1,05=906299,67:


[[File: S2_V18_del2_2b.png]]
[[File: S2_V18_del2_2b.png]]


Årlig utbetaling blir på 43157,13 kroner.
Årlig utbetaling blir på 43157,13 kroner.
===d)===


===d)===
===d)===

Sideversjonen fra 5. apr. 2019 kl. 11:50

oppgave som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsning laget av mattepratbruker Tommy O.

DEL 1

Oppgave 1

a)

f(x)=2x34x+1f(x)=6x24

b)

g(x)=xex

g(x)=1exxex(ex)2=ex(1x)(ex)(ex)=1xex

c)

h(x)=ln(x2+4x)g(u)=ln(u),u=x2+4xh(x)=g(u)u(x)=1uu=2x+4x2+4x

Oppgave 2

I5x+y+2z=0II2x+3y+z=3III3x+2yz=3

Legger sammen likning II og III.

2x+3x+3y+2y+zz=335x+5y=0x+y=0x=y

Setter inn x=y i likning I.

5(y)+y+2z=04y+2z=02z=4yz=2y

Setter inn z=2y og x=y i likning II.

2(y)+3y+2y=33y=3y=1

x=y=1

z=2y=21=2

Løsning: x=1,y=1,z=2

Oppgave 3

a)

P(x)=x33x213x+15

P(1)=13312131+15=1313+15=0

x=1 er et nullpunkt, så P(x) er delelig med (x-1).

b)

Utfører polynomdivisjon for å faktorisere P(x)

Resten faktoriseres: x22x15=(x25x+3x+(5)3)=(x5)(x+3). Bruk andregradsformelen ved behov.

Vi har P(x)=(x5)(x1)(x+3). Bruker fortegnsskjema for å løse ulikheten.

P(x)>0 når 3<x<1 og x>5.

Løsningen kan også skrives som x3,1 og x5,

Oppgave 4

a)

Differansen, d, mellom to ledd i en aritmetisk rekke er konstant. Finner d:

a4=a1+d+d+d14=2+3d3d=12d=4

n 1 2 3 4 n
an 2 6 10 14
Formel 2+40 2+41 2+42 2+43 2+4(n1)=4n2

an=4n2

b)

Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved:

Sn=a1+an2n

Finner a100:

a100=41002=398

Regner ut summen av de 100 første leddene i vår rekke:

S100=2+3982100=200100=20000

Oppgave 5

a)

Dersom 1<k<1 i en geometrisk tallfølge an=a1kn1 sier vi at den konvergerer. I slike tilfeller er Sn=a11k når n går mot uendelig.

Her har vi an=3(14)n1. Siden 1<k<1, så konvergerer rekken.

Regner ut summen av rekken når n går mot uendelig:

Sn=31(14)=334=343=4

b)

0,242424...=0,24+0,0024+0,000024+...=24100+241002+241003+...

Dette er en geometrisk rekke hvor

an=24100(1100)n1

Siden 1<k<1, konvergerer rekken. Summen av denne rekken når n går mot uendelig er:

Sn=2410011100=2410099100=2499

Det betyr at 0,242424... kan skrives som 2499

Oppgave 6

a)

f(x)=61+ex

Bruker kvotientregelen for derivasjon.

f(x)=0(1+ex)6(ex)(1+ex)2=6ex1+2ex+e2x

Alle potenser av e er positive (og større enn 0). Både telleren og nevneren til f(x) er altså positive. En brøk med positiv teller og nevner har alltid positiv verdi. Altså er f(x)>0 for alle verdier av x. Det vil si at f(x) er strengt voksende.

b)

Finner grenseverdien av f(x) når x går mot uendelig:

limxex=0

Det vil si at når x går mot uendelig, går ex mot null. Følgelig har vi at:

limx61+ex=61+0=6

Finner grenseverdien av f(x) når x går mot minus uendelig:

limxex=e=

Det vil si at når x går mot minus uendelig, går ex mot uendelig. Følgelig har vi at:

limx61+ex=6=0

Altså er 0<f(x)<6.

c)

Bruker kvotientregelen for derivasjon.

f(x)=(6ex)(e2x+2ex+1)(6ex)(2e2x2ex)(e2x+2ex+1)2=6e3x12e2x6ex+12e3x+12e2x(e2x+2ex+1)2=6e3x6ex(e2x+2ex+1)2

Brøken kan forkortes videre, men vi behøver ikke det. Vi skal finne x-verdien hvor f(x)=0, og trenger bare å se på telleren videre. Nevneren er et kvadrat av et uttrykk som alltid er større enn 0. Nevneren er derfor alltid større enn 0.

Vi har f(x)=0 når 6e3x6ex=0.

6e3x=6exe3x=ex3x=xx=0

f(x) har et vendepunkt i x=0. Finner y-verdien:

f(0)=61+e0=61+1=3

f(x) har et vendepunkt i (0,3).

d)

Vi vet at 0<f(x)<6 og at vi har et vendepunkt i (0,3). Vi vet også at dette er en logistisk funksjon, som er S-formet. Vi vet ikke så mye om x-aksen, men kunne eventuelt regne ut noen av punktene. Skisse av funksjonen:

Oppgave 7

a)

X er binomisk fordelt fordi:

  • Vi har 10 delforsøk
  • Det er to utfall i delforsøkene: R eller R (rød kule eller ikke rød kule).
  • P(R)=610=35. Det er lik sannsynlighet i alle delforsøkene, siden kulene legges tilbake etter hvert trekk.
  • Delforsøkene er uavhengige av hverandre. Fargen på kulen du trekker i ett delforsøk, påvirker ikke fargen på kulen du trekker i neste delforsøk.

b)

E(X)=nP(R)=10610=6

Var(X)=nP(R)(1P(R))=10610410=2410=2,4

Oppgave 8

a)

x=1,10z=xμσ=1,1010,05=0,100,05=105=2

x=0,90z=0,9010,05=0,100,05=105=2

P(0,90X1,10)=P(2Z2)=P(Z2)P(Z2)=P(Z2)(1P(Z2))0,97725(10,97725)=0,977250,02275=0,95450

Sannsynligheten for at et tilfeldig valgt rugbrød veier mellom 0,90 kg og 1,10 kg er 95,45%.

b)

μS=nμx=1001,00kg=100kg

σS=nσx=1000,05kg=100,05kg=0,5kg

S=100,5z=100,51000,5=0,50,5=1

S=99,5z=99,51000,5=0,50,5=1

P(99,5S100,5)=P(1Z1)=P(Z1)(1P(Z1))=0,84134(10,84134)=0,841340,15866=0,68268

Sannsynligheten for at veksten av rugbrødene på en tilfeldig pall er mellom 99,5 kg og 100,5 kg er ca. 68,3%.

Oppgave 9

g(x)=5f(x)+3

g(x)=5f(x). Det vil si at dersom f(x)=0, så er g(x)=0. f(x) og g(x) har derfor samme ekstremalpunkter. Derimot vil grafen til g synke når grafen til f stiger og omvendt, fordi g(x) alltid har motsatt fortegn som f(x).

Et toppunkt for f er (2,3). Det gir oss: g(2)=5f(2)+3=53+3=15+3=12

Et bunnpunkt for f er (3,4). Det gir oss: g(3)=5f(3)+3=5(4)+3=20+3=23

g(x) har et bunnpunkt i (2,12) og et toppunkt i (3,23).

DEL 2

Oppgave 1

a)

Bruker Geogebra til å utføre en regresjonsanalyse på punktene i tabellen. Velger polynomfunksjon av 3. grad som modell for kostnadene, h(x). Se skjermbildet under.

Jeg har funnet en modell for kostnaden, h(x)=0,05x31.97x2+39,43x+501,02

Inntekten er 80 kroner per enhet, og kan uttrykkes som I(x)=80x.

For å finne en modell for overskuddet, O(x), bruker jeg CAS i Geogebra, og regner ut O(x)=I(x)-h(x). Se skjermbildet under.

Jeg har dermed vist at funksjonen O(x)=0,05x2+2,0x2+41x501 (noe avrundet) er en god modell for det daglig overskuddet til bedriften ved produksjon av x enheter.

b)

Tegner grafen til O i Geogebra.

c)

Når grensekostnaden er lik grenseinntekten, har vi det største overskuddet. Bruker CAS til å finne den daglige produksjonsmengden som gir størst overskudd (og altså grensekostnad lik grenseinntekt):

Ser av CAS (og grafen tegnet i b) at det er størst overskudd når x=34,57. Det er kun mulig å produsere et heltall antall varer. Sjekker derfor om det er 34 eller 35 antall varer produsert som gir det største overskuddet. Det viser seg at en daglig produksjon på 35 varer gir størst daglig overskudd.

d)

Lager en glider a for prisen per enhet. Definerer inntekten I(x)=ax og definerer overskuddsfunksjonen på nytt. Se skjermbilde av CAS under. Beveger glideren til overskuddsfunksjonen har toppunkt i tilnærmet y=0. Ser at prisen per enhet må bli minst 41,25 kroner for at bedriften ikke skal gå med underskudd, og at bedriften i så fall må produsere 27 enheter per dag (se punkt C).

Oppgave 2

a)

an=a1kn1=400001,05n1

Summen av rekken ett år etter siste innbetaling kan regnes ut på denne måten:

S16=400001,051611,05140000

Regner ut i CAS i Geogebra:

Vi må regne summen av rekken det 16. året, og trekke fra 40000 fordi Eirik ikke setter inn noen penger det 16. året.

b)

Beløpet etter 15 år, a15, kan uttrykke som følger, fordi vi starter med 906299,67 kroner og får 5% rente hvert år, minus en rekke av utbetalinger med tapt renteinntekt for disse utbetalingene.

a15=906299,671,05151i=115bi

Utbetalinger, x, med tapte renteinntekter uttrykkes ved bn=x1,05n1

Etter 15 år skal kontoen være tom, altså a15=0. Jeg regner ut den årlige utbetalingen, x:

906299,671,05151x(1,051511,051)=0

Løser likningen i CAS på Geogebra:

Årlig utbetaling blir på 83157,13 kroner.

c)

Vi ønsker alltid at startbeløpet med renter, minus utbetalinger med tapte renter, skal bli lik starbeløpet igjen. Slik kan utbetalingene fortsette evig. Bruker CAS i Geogebra for å løse likningen 906299,671,05x1,05=906299,67:

Årlig utbetaling blir på 43157,13 kroner.

d)

d)