S2 2018 høst LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner
Linje 130: | Linje 130: | ||
$p(q)=-25\, ln \lgroup \frac{q}{500}\rgroup$ | $p(q)=-25\, ln \lgroup \frac{q}{500}\rgroup$ | ||
$p'(q)=p'(u)\cdot u' | $p'(q)=p'(u)\cdot u' \quad ,u=\frac{q}{500}$ | ||
$p'(q)=-25 \cdot \frac{1}{u} \cdot u' | $p'(q)=-25 \cdot \frac{1}{u} \cdot u'$ | ||
$p'(q)=-25 \cdot \frac{1}{\frac{q}{500}} \cdot \frac{1}{500} =-\frac{25}{q} \\ p'(25)=-\frac{25}{25}=-1$ | $p'(q)=-25 \cdot \frac{1}{\frac{q}{500}} \cdot \frac{1}{500} =-\frac{25}{q} \\ p'(25)=-\frac{25}{25}=-1$ |
Sideversjonen fra 20. mar. 2019 kl. 10:55
Diskusjon av oppgaven på matteprat
DEL 1
Oppgave 1
a)
$f(x)=e^{2x} \\ f'(x)=2e^{2x}$
b)
$g(x)=\frac{x^4-1}{x^2} \\ g'(x)=\frac{4x^3 \cdot x^2 - (x^4-1) \cdot 2x }{(x^2)^2} \\ =\frac{4x^5-2x^5+2x}{x^4} \\ =\frac{2x^5+2x}{x^4} \\ = \frac{2x^4+2}{x^3}$
c)
$h(x)=x^3 \cdot ln\, x \\ h'(x)=3x^2 \cdot ln \, x + x^3 \cdot \frac{1}{x} \\ = 3x^2 \cdot ln \, x + x^2$
Oppgave 2
Dersom $-1<k<1$ i en geometrisk tallfølge $a_n=a_1k^{n-1}$ sier vi at den konvergerer.
I slike tilfeller er $\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i=\frac{a_1}{1-k}$
a)
Vi har rekken $a_n=54 \cdot \frac{1}{3}^{n-1}$. I denne rekka er $k= \frac{1}{3}$. Det vil si at rekken konvergerer. Summen er gitt ved:
$\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{54}{1-\frac{1}{3}} = \frac{54}{\frac{2}{3}} = \frac{54 \cdot 3}{2} = 81$
b)
Vi har rekken $a_n=4 \cdot (-2)^{n-1}$. I denne rekka er $k= -2$. Det vil si at rekken ikke konvergerer.
Oppgave 3
a)
x runder løpt | 1 | 2 | 3 | 4 | $n$ |
f(x) kroner tjent per runde | 10 | 15 | 20 | 25 | $F_n$ |
utregning for å finne formel | $5\cdot 2$ | $5\cdot 3$ | $5\cdot 4$ | $5\cdot 5$ | $5\cdot(n+1) = 5n+5$ |
Inntekten per runde $F_n$ er gitt ved $F_n=5n+5$, der x er antall runder løpt og $n>0$. Setter $F_n=100$
$5n+5=100 \\ n+1 = 20 \\ n=19$
Lise må løpe 19 runder for å tjene 100 kroner på den siste runden.
b)
$ S=\sum_{n=1}^{25} 5n+5 \\ = \frac{(5\cdot 1 + 5)+(5\cdot 25 + 5)}{2} \cdot 25 \\ = \frac{10+130}{2} \cdot 25 \\ = 70 \cdot 25 = 1750 $
Bedriften må gi totalt 1750 kroner dersom Lise løper 25 runder.
Oppgave 4
a)
Funksjonen f er delelig på (x-1), derfor er (x-1) en faktor i f(x).
b)
Vi har allerede funnet en faktor, nemlig (x-1).
Faktoriserer nå resten ved å kjenne igjen andre kvadratsetning:
$x^2-4x+4=x^2-2\cdot 2 + 2^2=(x-2)(x-2)$
Vi har da:
$f(x)=x^3-5x^2+8x-4=(x-1)(x-2)(x-2)$
c)
Kjenner igjen konjugatetningen i nevneren.
$\frac{x^3-5x^2+8x-d}{x^2-4}=\frac{x^3-5x^2+8x-d}{(x+2)(x-2)}$
Brøken kan forkortes for d=4, slik vi hadde for f(x), hvor (x-2) var en faktor.
Oppgave 5
a)
$I(p)=p\cdot q(p)=p\cdot 500\cdot e^{-0,04p}$
Finner størst inntekt ved derivasjon:
$I'(p)=500 \cdot e^{-0,04p} + 500p \cdot (-0,04) \cdot e^{-0,04p} \\ = 500 \cdot e^{-0,04p} -20p \cdot e^{-0,04p} \\ =(500-20p)\cdot e^{-0,04p}$
$I'(p)=0 \\ (500-20p)\cdot e^{-0,04p}=0 \quad \Rightarrow \quad (500-20p)=0 \\ p=\frac{500}{20}=25 $
Vi har et toppunkt i p=25. Det vil si at en pris på 25 kr gir maksimal inntekt.
b)
$q=500\cdot e^{-0,04p} \\ \frac{q}{500}=e^{-\frac{1}{25} p} \\ ln \lgroup \frac{q}{500} \rgroup=-\frac{1}{25} p \\ -25\, ln \lgroup \frac{q}{500}\rgroup=p \\ p(q)=-25\, ln \lgroup \frac{q}{500}\rgroup$
c)
$p(q)=-25\, ln \lgroup \frac{q}{500}\rgroup$
$p'(q)=p'(u)\cdot u' \quad ,u=\frac{q}{500}$
$p'(q)=-25 \cdot \frac{1}{u} \cdot u'$
$p'(q)=-25 \cdot \frac{1}{\frac{q}{500}} \cdot \frac{1}{500} =-\frac{25}{q} \\ p'(25)=-\frac{25}{25}=-1$
Svaret forteller oss at ved en etterspørsel på 25 enheter, vil prisen synke med 1 krone per enhet, dersom etterspørselen blir 26 enheter.
Oppgave 6
a)
Vi har $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, der a,b,c og d er konstanter.
- x=1 er et nullpunkt, det vil si at $f(1)=0$ .
$\quad f(1)=a\cdot 1^3 + b \cdot 1^2 + c\cdot 1 + d = a+b+c+d=0$
- x=-2 er et nullpunkt, det vil si at $f(-2)=0$.
$\quad f(-2)=a\cdot(-2)^3+b\cdot(-2)^2+c\cdot(-2)+d=-8a+4b-2c+d=0$
- x=1 er ekstremalpunktet, det vil si at $f'(1)=0$.
$\quad f'(x)=3ax^2+2bx+c\\ \quad f'(1)=3a\cdot 1^2 + 2b\cdot 1+c=3a^2+2b+c=0$
- At grafen til f skjærer y-aksen i y=2 forteller oss at konstantleddet d=2.
b)
Bruker at d=2. Bruker likning 1 til å finne et uttrykk for c:
$a+b+c+d=0 \quad \Rightarrow \quad c=-a-b-2$
Setter inn uttrykket for c i likning 2:
$-8a+4b-2c+2=0 \\ -8a+4b-2(-a-b-2)+2=0 \\ -8a+4b+2a+2b+4+2=0 \\ -6a+6b+6=0 \quad |:6 \\-a+b+1=0$
Setter inn uttrykket for c i likning 3:
$3a+2b+c=0 \\ 3a+2b+(-a-b-2)=0 \\ 3a+2b-a-b-2=0 \\ 2a+b-2=0$
Har nå to likninger med to ukjente:
$-a+b+1=0 \\ 2a+b-2=0$
Finner et uttrykk for b:
$-a+b+1=0 \quad \Rightarrow \quad b=a-1$
Finner a:
$2a+b-2=0 \\ 2a+(a-1)-2=0 \\ 3a-3=0 \\ a=1$
Finner b:
$b=a-1=1-1=0$
Finner c ved hjelp av mitt tidligere uttrykk for c:
$c=-a-b-2=-1-0-2=-3$
Bestemmer et uttrykk for f(x):
$f(x)=1x^3+0x^2-3x+2 = x^3-3x+2$
Oppgave 7
a)
La X være gevinsten spilleren får når terningen kastes én gang.
x | 0 | 20 | 60 | 200 |
---|---|---|---|---|
$P(X=x)$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ |
b)
Finner forventningsverdien $E(x)=\mu$
$\mu=0\cdot P(X=0) + 20\cdot P(X=20) + 60\cdot P(X=60)+ 200\cdot P(X=200) \\ = 0 + 20\cdot \frac{1}{3} + 60\cdot \frac{1}{6} + 200\cdot \frac{1}{6} \\ = \frac{20}{3}+\frac{30}{3} +\frac{100}{3} = \frac{150}{3} = 50 $
Forventningsverdien er 50 kroner.
Finner variansen $Var(X)$
$Var(X)=(0-\mu)^2\cdot P(X=0) + (20-\mu)^2\cdot P(X=20) + (60-\mu)^2\cdot P(X=60)+ (200-\mu)^2\cdot P(X=200) \\ = (0-50)^2 \cdot \frac{1}{3} + (20-50)^2 \cdot \frac{1}{3} +(60-50)^2 \cdot \frac{1}{6} + (200-50)^2 \cdot \frac{1}{6} \\ = \frac{2500}{3}+\frac{900}{3} +\frac{100}{6} + \frac{22500}{6}\\ = \frac{2500}{3}+\frac{900}{3} +\frac{50}{3} + \frac{11250}{3}\\ =\frac{14700}{3}=4900$
Finner $SD(X)=\sqrt{Var(X)}$
$SD(X)=\sqrt{4900} = 70$
c)
Prisen per spill må være 60 kroner dersom jeg som arrangør i det lange løp skal få et overskudd på 10 kroner per spill.
d)
S er ifølge sentralgrensesetningen tilnærmet normalfordelt, fordi vi gjentar spillet 100 ganger. Sentralgrensesetningen sier følgende:
La X være en stokastisk variabel med forventningsverdi $\mu$ og standardavvik $\sigma$.
La $\Sigma_n X$ være summen av n uavhengige forsøk med X.
For store verdier av n er $\Sigma_n X$ tilnærmet normalfordelt.
e)
$E(X)=-10$ fordi forventningsverdien for spilleren er -10 kroner per spill.
$E(S)=\mu=n\cdot \mu = 100\cdot (-10) = -1000$
Det betyr at forventningsverdien for 100 spill er -1000 kroner.
Standardavviket for gevinst er det samme som før, SD(X)=70.
$SD(S)=\sigma =\sqrt{n} \cdot \sigma = \sqrt{100} \cdot 70 = 10 \cdot 70 = 700$
Det betyr at standardavviket for 100 spill er 700 kroner.
f)
$P(S>0)=1-P(S<0)\\=1-\Phi \lgroup \frac{0-\mu}{\sigma} \rgroup \\= 1- \Phi \lgroup \frac{0-(-1000)}{700} \rgroup \\= 1-\Phi \lgroup \frac{10}{7} \rgroup \\= 1-\Phi(1,43) \\=1-0,9236=0,0764$
Sannsynligheten for at spilleren går i overskudd med de 100 spillene er 0,0764 = 7,64%.
DEL 2
Oppgave 1
a)
Bruker Geogebra til å utføre en regresjonsanalyse på punktene i tabellen. Velger polynomfunksjon av 3. grad som modell for kostnadene, h(x). Se skjermbildet under.
Jeg har funnet en modell for kostnaden, $h(x)=0,05x^3-1.97x^2+39,43x+501,02$
Inntekten er 80 kroner per enhet, og kan uttrykkes som $I(x)=80x$.
For å finne en modell for overskuddet, O(x), bruker jeg CAS i Geogebra, og regner ut O(x)=I(x)-h(x). Se skjermbildet under.
Jeg har dermed vist at funksjonen $O(x)=-0,05x^2+2,0x^2+41x-501$ (noe avrundet) er en god modell for det daglig overskuddet til bedriften ved produksjon av x enheter.