Linjer i rommet: Forskjell mellom sideversjoner

Sideversjonen fra 17. feb. 2010 kl. 18:57

Linjer som skjæringen mellom to plan

Vi kan definere en linje i rommet som skjæringen mellom to ikkeparallelle plan. En linje vil derfor være definert som alle punkter x,y,z som tilfredsstiller systemet

Parameterfremstilling av linjer i rommet

En annen måte å beskrive linjer i rommet på er via parameterfremstillinger. Da trenger vi å vite retningen på linja samt et punkt på linja. En parameterfremstilling vil da generelt være på formen

<tex>\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))= \vec{r_1}t+\vec{r_0}</tex>,

der <tex>\vec{r_1}</tex> er en (konstant) vektor som er parallell med linja, og <tex>\vec{r_0}</tex> beskriver punkter på linja. Dette kan begrunnes geometrisk: Vi tenker oss at vi starter i origo og beveger oss til punktet <tex>\vec{r_0}</tex>. Deretter legger vi til en vektor <tex>\vec{r_1}t</tex> som vi vet ligger parallelt. Ved å variere verdien av <tex>t</tex> varierer vi lengden av den parallelle vektoren, slik at vi hele tiden forflytter oss langs (på) linja.

@@ Linje 16: / Linje 16: @@
 der <tex>\vec{r_1}</tex> er en (konstant) vektor som er parallell med linja, og <tex>\vec{r_0}</tex> beskriver punkter på linja. Dette kan begrunnes geometrisk: Vi tenker oss at vi starter i origo og beveger oss til punktet <tex>\vec{r_0}</tex>. Deretter legger vi til en vektor <tex>\vec{r_1}t</tex> som vi vet ligger parallelt. Ved å variere verdien av <tex>t</tex> varierer vi lengden av den parallelle vektoren, slik at vi hele tiden forflytter oss langs (på) linja.
-== Vinkelen mellom linjer i rommet ==
-Vi kan definere vinkelen <tex>\theta</tex> mellom to romlige linjer som vinkelen mellom vektorene som er parallelle med linjene. Merk at to generelle linjer i rommet ikke nødvendigvis skjærer hverandre. Dersom <tex>\vec{p}</tex> er parallell med den ene linja og <tex>\vec{q}</tex> er parallell med den andre, kan vi bruke definisjonen av skalarproduktet
-:<tex>\vec{p}\cdot \vec{q} =|\vec{p}||\vec{q}|\cos(\theta)</tex>
-til å bestemme vinkelen mellom linjene.