2PY 2018 vår LØSNING

• Løsningsforslag (pdf) fra joes. Send gjerne en melding hvis du oppdager feil i akkurat dette løsningsforslaget. På forhånd, takk.

• Løsningsforslag eksamen 2PY V18 (pdf) laget av Jon Bjarne Bø.

Oppgave 1

Variasjonsbredde: $30-(-24) = 30 + 24 = 54$ poeng

Gjennomsnitt: $\frac{20-15+5+15-8-3-24+30}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2,5 $ poeng

Oppgave 2

$\frac{20}{100} \cdot 25 = \frac{500}{100} = 5 $

5 elever i klassen til Mats har bodd i Norge i mindre enn fire år.

Oppgave 3

$\frac{5 \cdot 10^6}{2 \cdot 10^{-8}} = \frac{5}{2} \cdot 10^{6-(-8)} = 2,5 \cdot 10^{14} $

a)

b)

80 personer har fedme.

520 personer er undervektige eller normalvektige.

40% av personene er overvektige.

92% av personene er undervektige, normalvektige eller overvektige.

c)

Medianen er vekten til personen mellom nr. 500 og 501 (siden det er 1000 personer med i undersøkelsen), og vi ser i den kumulative frekvensen at denne personen befinner seg i klassen for normalvektige.

a)

b)

Antall sirkler i ytterste sekskant er 246. Vi bruker formelen for antall sirkler i ytterste sekstant, og setter den lik 246:

$6 \cdot (n-1) = 246 \\ n-1 = \frac{246}{6} \\ n-1 = 41 $

Formel for antall sekskanter i en figur er $n-1$

Dermed vet vi at det er 41 sekskanter i figuren.

c)

d)

Bruker formelen for antall sirkler i figuren og setter inn n=100.

$2 \cdot n^2 - n \\ = 2 \cdot 100^2 -100 \\ = 2 \cdot 10000 - 100 \\ = 20000 - 100 \\ = 19900$

Det vil være 19 900 sirkler i figur nr. 100.

a)

En lineær modell skrives $y=a \cdot x + b$

Vi vet at konstantleddet b = 12 000 fordi dyrebestanden i dag er 12 000 dyr.

Vi finner stigningstallet $a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{6000-12000}{10-0} = \frac{-6000}{10} = -600$

Modellen som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om x år er $y=-600x+12000$

b)

$\frac{11400}{12000}=0,95$

11 400 dyr tilsvarer 95% av 12 000 dyr. Det betyr at vekstfaktoren for ett år er 0,95.

Den eksponentielle modellen som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om x år er $f(x)=12000 \cdot 0,95^x$

c)

I den lineære modellen avtar bestanden med 600 dyr hvert år. Det første året tilsvarer det 5% av startverdien på 12 000 dyr. Bestanden vil fortsette å avta med 600 dyr hvert år, og det vil tilsvare en større og større prosentandel av dyrene som er igjen hvert år.

I den eksponentielle modellen avtar bestanden med 5% av antall dyr som er igjen hvert år. Det første året tilsvarer det 600 dyr, men de neste årene vil bestanden minke med færre og færre dyr, fordi 5% av en stadig minkende bestand, tilsvarer et mindre og mindre antall dyr.

Det vil si at det vil være færrest dyr igjen om 10 år ifølge den lineære modellen.

a)

Tegner funksjonen i Geogebra.

b)

Tegner linja y=10 og bruker Skjæring mellom to objekt for å finne punkt B=(5,35, 10) og C=(11,55, 10), se figur.

5,35 måneder etter 1. januar tilsvarer litt ut i juni måned. 11,55 måneder etter 1. januar tilsvarer midten av desember (husk at x=0 den 1.januar, x=1 den 1. februar osv.). Det vil si at det varte i 11,55-5,35=6,2 måneder.

Det var mer enn 10 millioner kvadratkilometer dekket av havis fra litt ut i juni til midten av desember, i 6,2 måneder.

c)

1. mars tilsvarer x=2 (2 måneder etter 1. januar). 1. september tilsvarer x= 8 (8 måneder etter 1. januar).

Tegnet punktene D=(2,A(2)) og E=(8,A(8)). Brukte knappen "linje" til å tegne en linje i som går gjennom punkt D og E. Brukte knappen "Stigning" til å finne stigningen til linjen i. Stigningen a=2,28.

Det betyr at den gjennomsnittlige økningen i antall kvadratkilometer dekket av havvis fra 1. mars til 1. september var 2,28 millioner kvadratkilometer per måned.

d)

Lagde punktet F=(5,A(5)). Brukte knappen "Tangent" til å lage en tangent til funksjonen A(x) i punktet F. Brukte knappen "Stigning" til å finne stigningen til tangenten. Stigningen a=3.

Den momentane vekstfarten når x=5 var 3 millioner kvadratkilometer per måned. Det vil si at havisen vokste med en fart på 3 millioner kvadratkilometer per måned den 1. juni.

a)

Setter om et funksjonsuttrykk f(x) for verdien av bilen om x år. En årlig nedgang i verdien på 12% tilsvarer en årlig vekstfaktor på 0,88.

$f(x)=300000 \cdot 0,88^x$

Om 5 år er bilen verdt:

$f(5)=300000 \cdot 0,88^5 \approx 158320 kr$

b)

For 5 år siden var bilen verdt:

$f(-5)=300000 \cdot 0,88^{-5} \approx 568470 kr$

a)

For å finne antall personer i boligområdet finner vi frekvensen i hver aldersgruppe (klassebredden ganget med histogramhøyden), og legger sammen frekvensen i alle aldersgruppene.

$15 \cdot 3 + 5 \cdot 5 + 10 \cdot 7 + 20 \cdot 5 + 30 \cdot 1 = 270$

Det bor 270 personer i boligområdet.

b)

Bruker Excel til å lage et søylediagram.

c)

I et søylediagram er det lettere å se antall personer i hver aldersgruppe. Mange vil kanskje foretrekke søylediagram, da antall personer i hver aldersgruppe blir lett å sammenligne.

I et histogram er det lettere å se bredden på de ulike aldersgruppene.

Valg av diagram kommer altså an på hvilken informasjon man vil legge vekt på.

a)

Legger inn verdiene i regnearket i Geogebra og bruker Regresjonsanalyse for å finne en eksponentiell modell. Husk at x=0 i 1920, x=20 i 1940 osv.

Vi har vist at modellen $f(x)=1775,6 \cdot 1,015^x$ passer fint med tallene i tabellen.

b)

Vekstfaktoren i modellen er 1,015, det betyr at folketall øker med 1,5% per år ifølge modellen.

c)

Tegner funksjonen f(x) i Geogebra. Lager punktene A=(70,f(70)) og B=(95, f(95)). Bruker knappen Linje til å lage linja h som går gjennom punkt A og B. Bruker knappen Stigning til å finne stigninga til linjen h. Stigningen a=90,8.

Det vil si at folketallet steg med gjennomsnittlig 90,8 millioner per år fra 1990 til 2015.

d)

År 2050 tilsvarer x=130. Et folketall på 9,8 milliarder tilsvarer y= 9800. År 2100 tilsvarer x=180. Et folketall på 11,2 milliarder tilsvarer y= 11200.

Lager punktet C1=(130, (f(130)) og C2=(130, 9800). Vi ser at modellen ikke stemmer helt med FNs prognoser for år 2050. Vår modell forutsier 12,3 milliarder mennesker i 2050, som er et noe høyere folketall enn FNs prognoser på 9,8 milliarder.

Lager punktet D1=(180, (f(180)) og D2=(180, 11200). Vi ser at modellen ikke stemmer i det hele tatt med FNs prognoser for år 2100. Vår modell forutsier 25,9 milliarder mennesker i 2100, som er over dobbelt så høyt folketall som FNs prognoser på 11,2 milliarder.

a)

$\frac{5+20+40}{5+20+40+65+55+15} = \frac{65}{200} = 0,352 = 32,5$%

32,5% av elevene fikk karakter 4 eller bedre.

b)

Bruker Excel.

Med formler:

c)

For hvert av de to årene ganger vi gjennomsnittet med frekvensen for å få summen av karakterene:

År 1: $3,05 \cdot 200 = 610$

År 2: $3,25 \cdot 180 = 585$

For å finne det nye gjennomsnittet legger vi sammen summen av karakterene og deler på summen av antall elever:

Gjennomsnitt for begge årene = $\frac{610+585}{200+180} = 3,145$

a)

P(to kuler med samme farge) = $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

P(to kuler med ulik farge) = $\frac{2}{6} + \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Påstand 2 er riktig, det er mest sannsynlig at hun kommer til å trekke to kuler med ulik farge.

b)

P(to kuler med samme farge) = $\frac{1}{2}$

P(to kuler med ulik farge) = $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Påstand 3 er riktig, sannsynligheten for at hun kommer til å trekke to kuler med samme farge, er like stor som sannsynligheten for at hun kommer til å trekke to kuler med ulik farge.