1T 2017 vår LØSNING

Denne oppgaven som PDF

diskusjon av denne oppgaven

Løsning laget av mattepratbruker Lektor Nilsen

Løsning bidratt av Lektor Ørjan Augedal, Fana privat gymnas

Løsning laget av mattepratbruker rekel

Løsning laget av mattepratbruker mattemarkus

Oppgave 1

$\frac{0,72 \cdot 10^8}{60 \cdot 10^{-8}} = \frac{72 \cdot 10^6}{6 \cdot 10^{-7}} = 12 \cdot 10^{6+7} = 1,2 \cdot 10^{14}$

Oppgave 2

$4^0 + 2^{-3} \cdot (2^3)^2 = 1+ 2^3 = 9$

Oppgave 3

$\sqrt{20} + \sqrt 5 - \frac{\sqrt{160}}{\sqrt 2}= 2 \sqrt 5 +\sqrt 5 - \frac{\sqrt4 \cdot \sqrt4 \cdot \sqrt 2 \cdot \sqrt 5}{\sqrt 2} \\ 2 \sqrt 5 + \sqrt5 - 4 \sqrt 5 = - \sqrt 5$

Oppgave 4

<math> \left[ \begin{align*}x^2+y^2= 4 \\ x+2 = y \end{align*}\right] </math>

Setter inn uttrykket for y i første ligning:

$x^2 + (x+2)^2 = 4 \\ x^2 + x^2 +4x +4 = 4 \\2x(x+2)=0 \\ x= 0 \vee x=-2$

Setter inn for x i en av ligningene og får følgende to løsningssett: (0, 2) eller (-2, 0)

Oppgave 5

$lg(x^2 + \frac 34) = 0 \\ 10^{lg(x^2 + \frac 34)} 10^0 \\ x^2 + \frac 34 =1 \\ x = \pm \frac 12$

Oppgave 6

$ \frac{1}{x} + \frac {x-5}{x-1}- \frac{2x-6}{x^2-x} = \\ \frac {}{}\frac{x-1}{x(x-1)} + \frac {x(x+5)}{x(x-1)} - \frac{2x-6}{x(x-1)} = \\ \frac {x-1+x(x-5) -2x +6}{x(x-1} = \\ \frac{x^2-6x+5}{x(x-1)}= \\ \frac {(x-1)(x-5)}{x(x-1)} = \\ \frac{x-5}{x} $

a)

	Papir	ikke papir	Total
Nett	32	48	80
Ikke nett	18	2	20
Total	50	50	100

b)

Både nett og papir:

P ( nett $\cap$ papir) = 32% (leser direkte fra tabell).

c)

Sannsynlighet for ikke papir, gitt nett:

P( ikke papir | nett) = $\frac{P( nett \quad \cap \quad ikke papir)}{P( nett)} = \frac{48}{80} = 0,6$

Oppgave 8

Den lengste siden i en rettvinklet trekant er hypotenusen. Kaller den for x:

$ x^2 = (x-2)^2+ 20^2 \\ x^2 = x^2-4x+4 + 400\\ 4x= 404 \\ x = 101$

Den lengste siden er 101.

Oppgave 9

a)

Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet:

$f(-2)= -8+12+4-3 = 5 \\ f(0)= -3 \\ \frac{f(0) - f(-2)}{2} = \frac{-3-5}{2} = -4$

b)

Momentan vekstfart for f når x = 2.

$f´(x)= 3x^2+ 6x-2 \\ f´(-2) = 12-12--2 = -2$

Oppgave 10

a)

$f(x)>0 \Rightarrow x \in <4, \rightarrow>$

b)

$f´(x) >0 \Rightarrow x \in < \leftarrow,1> \cup <3, \rightarrow>$

Oppgave 11

a)

Nullpunkter:

$ f(x)=0 \\ x^2-4x+3=0 \\ x= \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3}}{2} \\ x = 1 \vee x= 3$

Nullpunkter (1,0) og (3,0).

b)

c)

V finner den x verdi som gir f´(x) = 2. $f´(x) =2 \\ 2x-4 =2 \\ x=3$

Vi vet at f(3) = 0

Likningen for tangenten blir da: $y = ax + b \\ 0 = 2 \cdot 3 + b \\ b = -6$

y= 2x - 6 er likningen for tangenten med stigningstall 2.

d)

Se tangent i c. Likningen blir y = -2x + 2, fordi frn skjærer y aksen i 2 og avtar med 2 for hver enhet mot høyre.

e)

Det eroppgitt at tangenten går gjennom (2, -2). Pga symmetri må den også gå gjennom (1,0).

Den deriverte blir da -2 : y = -2x + b som innsatt for (1, 0) gir b = 2, altså er ligningen for tangenten riktig.

Oppgave 12

b)

Bruker arealformenlen:

$A = \frac12 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \sin(30) = 2$

Arealet av trekanten er 2.

c)

Bruker cosinussetningen:

$(BC)^2 =4 + 16 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\sqrt3}{2} = 20 - 8 \sqrt3 = 4(5 - 2\sqrt3) \\ BC = \sqrt{4(5 - 2\sqrt3)} = 2 \sqrt{5-2\sqrt3}$