1T 2016 høst LØSNING

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Oppgave 1

Tar utgangspunkt i likning #2 og lager først et uttrykk for y

\[-y=-2x-9 \Leftrightarrow y=2x+9\]

Setter det inn i likning #1

\[5x=-2(2x+9) \Leftrightarrow 5x=-4x-18\Leftrightarrow9x=-18\Leftrightarrow x=(-2)\]

Setter så inn verdien for x inn i hvilken som helst vilkårlig likning, i dette tilfellet tar vi for oss likning 1 fordi den er enklest.

\[5(-2)=-2y\Leftrightarrow -10=-2y \Leftrightarrow y=5\]

Derfor, \[x=-2 \wedge y=5\]

Oppgave 2

Først omskriver vi det litt med hensyn til faktorisering.

\[\frac{2x^2-2}{x^2-2x+1}=\frac{2(x^2-1)}{x^2-2x+1}\Leftrightarrow \frac{2(x-1)(x+1)}{x^2-2x+1}\]

Ser vi i nevneren vil vi se at vi har et andregradsuttrykk. Dette kan du faktorisere ved hjelp av abc-formelen.

Du finner fort ut at likninga kun har ett nullpunkt for \[x=1\] Da kan du skrive nevneren som \[(x-1)^2\]

videre får du

\[\frac{2(x-1)(x+1)}{(x-1)^2}=\frac{2(x+1)}{x-1}\]

Oppgave 3

$-x^2+3x> -10 \\ -x^2+3x+10 >0$

Faltoriserer uttrykket:

$x= \frac{-3 \pm \sqrt{9+40}}{-2} \\ x= -2 \vee x=5$

Gir oss uttrykket på faktorisert form:

$-1 (x -5)( x + 2)> 0$

Tegner så fortegnsskjema.

Oppgave 4

\[lg(2x+\frac{3}{5})=-1\]

Ved hjelp av logaritmereglene vet vi at \[-1=lg(10^{-1})\]

Derfor kan vi si at

\[lg(2x+\frac{3}{5})=lg(10^{-1})\]

Ved hjelp av denne logaritmeregelen \[lg(a)=lg(b)\Leftrightarrow a=b\]

Kan vi si at

\[2x+\frac{3}{5}=10^{-1}\Leftrightarrow2x+\frac{3}{5}=\frac{1}{10}\Leftrightarrow 2x=-\frac{5}{10}\Leftrightarrow 2x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=-\frac{1}{4}\]

Oppgave 5

\[2^3\cdot 2^x=2^{2x}\]

Vi kjenner til regelen \[a^n\cdot a^m=a^{n+m}\] og sier at \[2^3\cdot2^x=2^{x+3}\]

Derfor får vi at

\[2^{x+3}=2^{2x}\]

Vi kjenner regelen \[a^n=a^m\Leftrightarrow n=m\]

Derfor kan vi si at \[x+3=2x\Leftrightarrow x=3\]

Oppgave 6

$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{54}} + 2^{\frac12} \cdot 3^{-1} = \\\frac{\sqrt{3 \cdot 16}}{\sqrt{6 \cdot 9}} + \sqrt 2 \cdot \frac 13 = \\\frac{4\sqrt{3 }}{3\sqrt{6 }} + \frac{\sqrt 2}{3}= \\\frac{4\sqrt{3 }}{3\sqrt{2 } \cdot \sqrt 3} + \frac{\sqrt 2 \cdot \sqrt 2}{3 \sqrt 2}= \\ \frac{4+2}{3 \sqrt 2} = \\ \frac{2}{\sqrt 2} = \\ \sqrt{2} $

Oppgave 7

$\frac{x+2}{x-3} - \frac{7x+14}{x^2-x-6}= \\ \frac{x+2}{x-3} - \frac{7(x+2)}{(x-3)(x+2)} = \\ \frac{(x+2)(x+2)- 7(x+2)}{(x+2)(x-3)} = \\ \frac{x-5}{x-3}$

Oppgave 8

Parabler er på formen $f(x) = ax^2+bx+c$

Vi ser at f(0)= - 4, dvs c= -4

Vi har nullpunktene:

a(x - 4)(x + 2) og velger et punkt på grafen (0, -4):

$a 2(-4)=8 \\ a= \frac 12$

Vi mangler nå b

a

Alle tre faktorene vil bli lik null som gir

\[f(x)=(x-1)(x-1)(x+2)\Leftrightarrow x-1=0, x+2=0 \Leftrightarrow x=1 \wedge x=-2\]

b

\[(x-1)(x-1)(x+2)=(x+2)(x-1)^2=(x+2)(x^2-2x+1)=x^3-3x+2\]

c

Vi finner topp og bunnpunkter når den deriverte = 0, dvs. ved 0 vekst.

\[(x^3-3x+2)' =3x^2-3x\]

\[3x^2-3=0\Leftrightarrow 3x^2=3\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow x=\pm1\]

Vi vet derfor at funksjonen har et ekstremalpunkt i \[(1,f(1))=(1,0)\] og \[(-1,f(-1))=(-1,4)\]

d

Først finner vi stigningstallet

\[f'(0)=a\Leftrightarrow 3\cdot0^2-3=a\Leftrightarrow a=-3\]

Så finner vi likningen

\[(y-y_1)=a(x-x_1)\Leftrightarrow(y-2)=-3(x-0)\Leftrightarrow y=-3x+2\]

e)

Dersom vi skal ha flere tangenter parallell med den i i d), må likningen $3x^2 - 3 = -3$ ha flere løsninger. Vi får:

$3x^2-3 +3 =0 \\ 3x^2 =0 \\ x=0$

Det finnes ingen andre tangenter parallell med den i d).

Oppgave 10

Hver av sidene har lengde 8.

Høyden i trekanten blir et katet i en trekant der det andre katetet er 4 og hypotenus 8. Lengden blir da $ \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt 3$

Arealet av trekanten blir $A= \frac{g \cdot h}{2} = \frac {8 \cdot 4\sqrt3}{2} = 16 \sqrt 3$

Oppgave 11

\[\frac{sin(u)}{cos(u)}=tan(u)\Leftrightarrow\frac{\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}}=\frac{8}{15}\]

Oppgave 12

a)

$ (sin u)^2 + (cos u)^2 = \\ ( \frac 45)^2 + ( \frac 35)^2 = \\ \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1$

Hvilket skulle vises.

b)

$a^2+b^2=c^2 \\ \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} \\ (\frac ac)^2 + (\frac bc)^2 =1 \\sin^2x + cos^2x = 1$

Oppgave 13

a)

P( BRR) = $P(B)\cdot P(R) \cdot P(R) = \frac 48 \cdot \frac 47 \cdot \frac 36= \frac 17$

Oppgave 14

a)

Omkretsen av det blå området er lik summen av pereferien av de tre halvsirklene.

$O_{blå} = 2,5a \pi + 0,5a \pi + 2a \pi = 5a \pi$

Omkretsen er fem ganger a ganger pi.

b)

Arealet av det blå området er arealet av den store halvsirkelen, minus arealene av de to små halvsirklene.

$A= (\frac{\pi (\frac 52a)^2}{2}) -(\frac{\pi (\frac12)^2}{2}) -(\frac{ \pi (2a)^2}{2})\\ A = (\frac{\pi a^2}{2} )((\frac52)^2 - (\frac 12)^2 - 2^2) \\ A= 4 \pi a^2$