Vektorprodukt

Vektorproduktet er en operasjon mellom to 3-dimensjonale vektorer som har nyttige anvendelser i blant annet areal- og volumberegninger og når vi skal finne normalvektorer til flater og plan i rommet. Merk at vektorproduktet slik det er definert ikke gir mening for annet enn 3- og 7-dimensjonale vektorer, der vi kun har fokus på det 3-dimensjonale tilfellet.

Determinanter

$\begin{vmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{vmatrix} = a_{1,1}\cdot a_{2,2} - a_{2,1} \cdot a_{1,2} \quad \quad $

Når man multipliserer diagonalt nedover mot høyre blir fortegnet positivt. Multiplikasjon diagonalt nedover mot venstre gir negativt fortegn.

$ \begin{vmatrix}1 & 4 & -2 \\5 & 3 & 6 \\2 & 0 & -1 \end{vmatrix}$ = -3 - 0 + 48 +20 + 0 + 12 = 77

Vi kom fram til dette på følgende måte: Vi utvider determinaten med to kolonner, slik at kolonne en og to repeteres etter kolonne tre.

$( 1 \cdot 3 \cdot (-1) - 1 \cdot 6 \cdot 0) + (4 \cdot 6 \cdot 2 - 4 \cdot 5 \cdot(-1)) + ((-2) \cdot 5 \cdot 0 - (-2) \cdot 3 \cdot 2)= -3 -0+48+20+0+12=77 $

Definisjon av vektorprodukt (kryssprodukt)

Vi bruker notasjonen <math>\times</math> for vektorprodukt. Lar vi <math>\vec{v_1}=(x_1,y_1,z_1)</math> og <math>\vec{v_2}=(x_2,y_2,z_2)</math> er

<math>\vec{v_1}\times \vec{v_2}=\left ( y_1z_2-y_2z_1), -(x_1z_2-x_2z_1), (x_1y_2-x_2y_1 \right )</math>

Definisjonen kan også skrives som en determinant som gjør den lettere å huske,

<math> \vec{v_1}\times\vec{v_2} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\x_1 & y_1 & z_1 \\x_2 & y_2 & z_2 \end{array} \right |</math>

Utvikler vi i første rad ser vi at determinanten blir

<math>\vec{v_1}\times\vec{v_2}= (y_1z_2-y_2z_1)i, -(x_2z_1-x_1z_2)j, (x_1y_2-x_2y_1)k</math>.

Her tolker vi <math>i,j,k</math> som enhetsvektorer langs x-,y- og z-aksen, og da ser vi at dette er i overensstemmelse med den første definisjonen.

Eksempel

$[1,2,3] x [2,2,0] = \begin{vmatrix}i & j & k \\1 & 2 & 3 \\2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = [0-6, 6-0, 2-4] =[-6, 6,-2] $

Merk at kryssproduktet ikke er kommutativt. Bruker vi definisjonen ser vi at

<math>\vec{v_2}\times \vec{v_1}=-\vec{v_1}\times \vec{v_2}</math>

Geometrisk tolkning

Geometrisk bilde av vektorproduktet

Vektorproduktet <math>\vec{v_1}\times \vec{v_2}</math> er en ny vektor, si <math>\vec{v_3}</math>, som står normalt (vinkelrett) på både <math>\vec{v_1}</math> og <math>\vec{v_2}</math> og har lengde <math>|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\sin(\theta)</math> der <math>\theta</math> er den minste vinkelen mellom vektorene. Retningen til <math>\vec{v_3}</math> følger høyrehåndsregelen, dvs. at dersom vi tilpasser et slags koordinatsystem slik at <math>\vec{v_1}</math> følger x-aksen i positiv retning og <math>\vec{v_2}</math> følger y-aksen i positiv retning, vil <math>\vec{v_3} </math> peke i positiv retning langs z-aksen.

Absoluttverdien av vektorproduktet

Absoluttverdien

<math>|\vec{v_1}\times \vec{v_2}|</math>

er arealet til parallellogrammet utspent av vektorene. Bruker vi definisjonen kan vi vise at

<math>|\vec{v_1}\times \vec{v_2}|=|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\sin(\theta)</math>

der <math>\theta</math> er (den minste) vinkelen mellom vektorene. Da ser vi geometrisk at dette er likt arealet av parallellogrammet. For spesialtilfellet <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> vil vektorene utspenne et rektangel, og da ser vi enkelt at arealtolkningen stemmer siden <math>\sin(\frac{\pi}{2})=1</math>.

Eksempler

Beregning av vektorprodukt

Gitt vektorene <math>\vec{p}=(1,4,2)</math> og <math>\vec{q}=(9,7,1)</math> beregner vi vektorproduktet som følger:

<math> \vec{p}\times\vec{q}=(1,4,2)\times (9,7,1)=(4\cdot 1-7\cdot 2, -(1\cdot 1-9\cdot 2),1\cdot 7-9\cdot 4)=(-10,17,-29)</math>

Høyrehåndsregelen

Vi har vektoren <math>\vec{ v_1}</math> og vektoren <math> \vec{v_2}</math>. Vektorproduktet av de to vektorene vil være en vektor <math>\vec{v_3}</math> som står vinkelrett på planet som inneholder vektoren <math>\vec{v_1}</math> og vektoren <math>\vec{v_2}</math>.

Dersom du bruker høyre hånd og holder pekefingren parallell med <math>\vec{v_1}</math>, bøy langfingren slik at den er parallell med <math>\vec{v_2}</math> og la tommelfingren stå rett ut fra hånden. Tommelen peker nå i samme retning som <math>\vec{v_3}</math>. Regelen kalles høyrehåndsregelen.

Regneregler

Vektorproduktet skrives <math> \vec{v_1}\times \vec{v_2}</math> og kalles derfor ofte for kryssproduktet. Operasjoner er ikke kommutativ eller assosiativ. Følgende regneregler gjelder:

<math>\vec{v_1}\times \vec{v_1} = -( \vec{v_2} \times \vec{v_1}) \\ \\ (\vec{v_1} + \vec{v_2}) \times \vec{v_3} = (\vec{v_1} \times \vec{v_3}) + (\vec{v_2} \times \vec{v_3})\\ \\

(k\vec{v_1}) \times \vec{v_2} = \vec{v_1} \times (k\vec{v_2})= k(\vec{v_1} \times \vec{v_2})</math>

Når man tar skalarproduktet av to vektorer blir resultatet en skalar, eller et tall. Når man tar vektorproduktet blir resultatet en ny vektor. Lengden av denne vektoren er gitt ved:

<math>|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = |\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|\cdot \sin \phi, \quad \phi \in [0^{\circ},180^{\circ}]</math>.

Bruksområder

Vektorproduktet brukes til å beskrive fenomener i fysikken og det kan også brukes til å regne ut arealer og volumer, samt til å bestemme et plans normalvektor. Eksempelvis har vi at:

Arealet at parallellogram

utspent av vektorene <math>\vec{v_1}</math> og <math>\vec{v_2}</math> er gitt ved <math>A = |\vec{v_1} \times \vec{v_2}| </math>

Vektorene[-1, 4,0] og[2,2,0] ligger begge i xy planet og utspenner et parallellogram med areal 10, se figur til venstre. Ved å ta kryssproduktet får man vektoren [0, 0, 10] som jo er parallel med Z aksen, normalt på de to vektorene i xy planet. Denne vektoren har lengde 10, som jo er sammenfallende med arealet av parallellogrammet.

Arealet av en trekant

utspent av vektorene <math>\vec{v_1}</math> og <math>\vec{v_2}</math> er gitt ved <math>A = \frac 12\cdot|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| </math>

Volumet av en trekantet pyramide

bestemt av vektorene <math>\vec{v_1}</math>, <math>\vec{v_2}</math> og <math>\vec{v_3}</math> er gitt ved <math>V= \frac 16 \cdot|(\vec{v_1}\times \vec{v_2})\cdot \vec{v_3}|</math>

Volumet av en firkantet pyramide

bestemt av vektorene <math>\vec{v_1}</math>, <math>\vec{v_2}</math> og <math>\vec{v_3}</math> er gitt ved <math>V= \frac 13 \cdot |(\vec{v_1} \times \vec{ v_2})\cdot \vec{v_3}|</math>

Volumet av et parallellepiped

bestemt av vektorene <math>\vec{v_1}</math>, <math>\vec{v_2}</math> og <math>\vec{v_3}</math> er gitt ved <math>V = |(\vec{v_1}\times \vec {v_2})\cdot \vec{v_3}|</math>