Logaritmer

Innledning

Logaritmeregningen ble introdusert av Napier rundt 1614, og arbeidet ble fullført av Briggs i 1628. Logaritmetabellene som de utviklet har vært i bruk helt fram til vår tid. Før kalkulatorer og regnemaskinenes tid spilte logaritmer en sentral rolle fordi de forenklet utregningen. Selv om man ikke er så avhengig av disse forenklingene i dag brukes logaritmer fortsatt, blant annet diagrammer der verdiene spenner over flere dekadiske enheter (1, 10, 100, 1000, ....).

Regneregler

Logaritmen til et tall x med basis b er definert som den inverse funksjonen til <tex>b^x</tex> (b opphøyd i x). En logaritme kan ha forskjellige basiser eller grunntall (større enn null og ikke lik en). Det vanligste grunntallet for en logaritme er 10 og betegnelsen er log eller lg.(Den naturlige logaritmen ln har grunntall e og behandles separat.) Dersom andre grunntall brukes er det gjerne spesifisert, for eksempel dersom grunntallet er 2 skrives det slik: <tex>log_2 x</tex>.

Logaritmer med grunntall 10 kalles den briggske logaritmen , etter matematikeren Henry Briggs. Vi har følgende definisjon:

<tex>10^{log a} = a </tex>

<tex>log 1000 = 3\qquad \text{fordi} \qquad 10^3 = 1000 </tex>

<tex>log 1 = 0 \qquad \text{fordi} \qquad 10^0 = 1 </tex>

<tex>log 0,01 = -2 \qquad \text{fordi} \qquad 10^{-2} = 0,01 </tex>

Man kan ikke ta logaritmen til et negativt tall.

Logaritmen av en potens

<tex> log a^x = x \cdot log a </tex>

<tex> log 100^{24} = 24 \cdot log 100 =24 \cdot 2 = 48 </tex>

Test deg selv

Logaritmen av et produkt

<tex> log (a\cdot b) = log a + log b </tex>

<tex> log (10\cdot 100) = log 10 + log 100 = 1 + 2 = 3 </tex>

10 ganger 100 er 1000. Logaritmen til 1000 er 3. Man ser at formelen stemmer.

Test deg selv

Logaritmen av en brøk

<tex> log \frac ab = log a - log b </tex>

<tex> log \frac {10.000}{100} = log 10.000 - log 100 = 4-2 = 2</tex>

Titusen delt på hundre er hundre.Logaritmen til hundre er to.

Test deg selv

Bruk av regneregler for logaritmer

I praktisk oppgaveregning får man ofte bruk for å kombinere de tre reglene over. Her er et par eksempler:

Eksempel:
Vis at <tex>3logx - log 8x +3log2-logx^2 = 0 </tex>

<tex>3logx - (log 8 + log x) +log2^3- 2logx = </tex>

<tex>3logx - log 8 - log x + log 8 - 2logx = 0 </tex>

Eksempel:
Skriv enklest mulig: <tex>log(3x) - log x^3 - log(\frac3x)+ 2logx</tex>

<tex> (log3 + log x) - 3log x - (log 3 - log x)+ 2logx = </tex>

<tex> log3 + log x - 3log x - log 3 + log x + 2logx = log x </tex>

---

Endring av base (grunntall)

Det vanligste er å bruke 10 eller e som base, men et hvilket som helst tall kan i utgangspunktet brukes som base. Gitt en base b gjelder

<tex> b^{log_bx} = x </tex>

Ønsker så å skifte til base a:

<tex>log_a( b^{log_bx}) = log_a( x) </tex>

<tex>(log_bx) \cdot (log_a b)= log_a( x) </tex>

<tex> log_bx = \frac{log_a( x)}{ log_a b } </tex>
alle a, b og x er positive størrelser

Eksempel:
Du vil nok oppleve at de fleste kalkulatorer har problemer med andre baser enn 10 og e, men et enkelt eksempel illustrerer sammenhengen.
<tex> 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 </tex> , dvs. logaritmen til 81 er 4 dersom basen er 3, eller

<tex> log_381 =4 </tex>
Dersom man bruker formelen over får man:

<tex> log_381 = \frac{log_{10}81}{log_{10}3} = 4</tex>

Eksempel:

Hva er logaritmen til 16807, med 7 som base?

<tex>log_7 16807 = \frac{log_{10} 16807}{ log_{10} 7 } = 5 </tex>
Svaret kan lett verifiseres ved å regne ut <tex> 7^5</tex>

Praktisk bruk

Surhetsgrad – pH

Et mol stoff er 6,022045· 1023 (avogadros tall) partikler. Mol per liter [M] brukes som et mål på konsentrasjon i væsker.

pH er definert som den negative logaritmen til konsentrasjonen av <tex>H^+ (H_3O^+)</tex> ioner i en løsning:

<tex> pH = - lg (H^+) </tex>
pH 7 er nøytralt mens pH mindre enn 7 er surt. pH over 7 er basisk.
Dersom man bruker definisjonen finner man at

pH 14 = 0,00000000000001M = 1· 10-14 M

pH 7 = 0,0000001M = 1· 10 -7 M

pH 0 = 1,0 M = 1· 10 0 M

Eksempel:
Konsentrasjonen av <tex> H^+ </tex> ioner i et avløp fra en bedrift måles over en periode på 3 år og gir følgende gjennomsnittsresultater:

1. år - 0,035 M

2. år - 0,00015 M

3. år - 0,000095 M

Nå kan man prøve å plotte resultatene direkte i et diagram, men man vil fort finne ut at man får problemer med skalaen fordi det er stor forskjell på observasjonene. Finner man pH de tre årene får man følgene resultater:

1. år - 0,035 M pH = - lg (0,035) = 1,5

2. år - 0,00015 M pH = - lg ( 0,00015) = 3,8

3. år - 0,000095 M pH = - lg (0,000095) = 4,0

Fig.2: Verdiene lar seg lettere plotte lineært når de er behandlet logaritmisk, i forhold til definisjonen for pH. Dersom du prøver å plotte konsentrasjonen direkte vil du få et problem med skalaen på aksene.

Eksempel:
Hva er konsentrasjonen av H+ ioner i en løsning der pH er 13?

13 = -lgC

c = 1∙ 10-13

Eks.3:

Hva er pH dersom konsentrasjonen av H+ i løsningen er 5,7 ∙10-9

pH = - lg(5,7 ∙10-9) = 8,2 <tex> </tex>

Lyd - dB

Lyd

Lydstyrke måles I desibel, dB. Lyd er energi per flate og intensiteten på den svakeste lyden man kan høre er:

<tex>I_0 = 10^{-12} [W/m^2] </tex>

Dersom en lyd har intensiteten I er lydstyrken L, i desibel, gitt som

<tex>L =10logI - 10logI_0 = 10logI + 120 </tex>

Eksempel

Hva er lydintensiteten dersom lydstyrken er 60dB?

L = 10lgI + 120

lgI = (L-120)/10 = (60-120)/10 = -6

I = 10-6 = 0,000001 [W/m2]

Eksempel

Hva er lydstyrken dersom intensiteten er 3,7 ∙ 10-3[W/m2] ?

L = 10lg(3,7 ∙ 10-3) + 120 = 96dB

Eksempel

Hva skjer med lydstyrken når lydintensiteten dobles?

10lg(2I) +120=

10lg2 + 10lgI + 120=

10lgI +120 + 3 = L + 3

Når man dobler intensiteten øker lydstyrken med 3dB.

Som man ser fra eksemplene over er det mer praktisk å arbeide i dB, framfor å skulle arbeide direkte med lyditensitet.

Richters skala

Jordskjelv forårsakes av spenninger i jordskorpa. Sentrum av et jordskjelv kalles et episenter. Et jordskjelv friggjør energi i form av bølgebevegelser, som kan forårsake store materielle skader. Dersom episenteret er i eller ved vann kan det forårsake en stor flodbølger som kalles for en tsunami.

En av forskerne som arbeidet med matematiske modeller for å angi størrelsen på et jordskjelv var Dr. Charles F. Richter. Hen var Amerikaner og levde fra 1900 til 1985. I 1935 kom han med en modell som sier noe om styrken til et jordskjelv.:

E = 101,44R - 1,32

Der E er skjelvets energi målt i kWh og R er Richtertallet. Et jordskjelv som er 5 eller lavere på Richter skala er svakt og vil normalt ikke gi materielle skader. Jordskjelv over 6 på Richters skala er sterke. Skjelv over 8 vil normalt være katastrofale for store områder, flere hundre kilometer fra episentret. De største skjelv mann kjenner tilsvarer ca. 10 på Richters skala. Til sammenligning tilsvarer den daglige energimengden jorden mottar fra solen ca. 12 på Richters skala.

Hvor mye energi er utløst dersom et jordskjelv måler 7,9 på Richterskala?

E = 101,44∙7,9 - 1,32 = 1010,056=1,13 ∙ 1010 kWh

<tex>log_7 16807 = \frac{log_{10} 16807}{ log_{10} 7 } = 5 </tex>
Svaret kan lett verifiseres ved å regne ut <tex> 7^5</tex>

Eks. 7:

Eks. 8:

Et jordskjelv utløser en energimengde på 5 ∙ 106 kWh. Hvor stort er det på Richterskala?

5 ∙ 106 = 101,44R - 1,32

1,44R-1,32 =lg 5 ∙ 106

R = 5,6