R1 2016 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner
Linje 181: | Linje 181: | ||
===b)=== | ===b)=== | ||
Den totale sannsynligheten for to røde kort: | |||
===c)=== | ===c)=== |
Sideversjonen fra 25. mai 2016 kl. 05:50
Løsningsforslag (pdf) fra bruker joes. Send gjerne en melding hvis du har kommentarer til løsningsforslaget. På forhånd, takk.
Løsningsforslag (pdf) fra bruker LektorH.
Løsningsforslag (pdf) fra bruker Claves
DEL EN
Oppgave 1
a)
$f(x)=-3x^2+6x-4$
$f'(x)=-6x+6= -6(x-1)$
b)
$g(x)=5\ln(x^3-x)$
$g'(x)=\frac{5(3x^2-1)}{x^3-x}$
c)
$h(x)=\frac{x-1}{x+1}$
$h'(x)=\frac{x+1-(x-1)}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$
Oppgave 2
a)
$p(x)=x^3-7x^2+14x+k$
$p(x)$ er delelig med $(x-2)$ hvis og bare hvis $p(2)=0$
$p(2)=8-7\cdot4+14\cdot2+k=8-28+28+k=8+k$
$8+k=0$
$k=-8$
b)
$ \quad x^3-7x^2+14x-8 :(x-2)= x^2 - 5x + 4 \\ -(x^3-2x^2) \\ \quad \quad-5x^2 + 14x -8 \\ \quad \quad -(-5x^2 -10x) \\ \quad \quad \quad \quad \quad (4x -8)$
$x= \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} \\ x= 1 \vee x =4 \\ \\ P(x)= (x-1)(x-2)(x-4)$
c)
$P(x) \leq 0 $
$x \in < \leftarrow,1] \cup [2,4]$
Oppgave 3
a)
$f(x)=x^2e^{1-x^2}$
$f'(x)=2xe^{1-x^2}+x^2\cdot-2xe^{1-x^2}=2xe^{1-x^2}(1-x^2)$
b)
c)
d)
Oppgave 4
a)
$AB=AC=BC=6 \ cm$
$HB=\frac{1}{2}AB=3 \ cm$
$CH=\sqrt{(BC)^2-(HB)^2}=\sqrt{6^2-3^2} \ cm=\sqrt{27}=\sqrt{3^3} \ cm=3\sqrt{3} \ cm$
$CF=CE=\sqrt{(BC)^2+(BE)^2}=\sqrt{6^2+6^2} \ cm=\sqrt{2\cdot6^2} \ cm=6\sqrt{2} \ cm$
$HF=\sqrt{(CF)^2-(CH)^2}=\sqrt{72-27} \ cm=\sqrt{45} \ cm=\sqrt{9\cdot5} \ cm=3\sqrt{5} \ cm$
b)
$\frac{AF}{AB}=\frac{3+3\sqrt{5}}{6}=\frac{3(1+\sqrt{5})}{2\cdot3}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi$
Oppgave 5
a)
$\vec{AB} =[5-1,2-1] = [4, 1] \\ \vec{AC} = [3-1, 5-1]=[2,4] \\ \vec{AB} \neq k \vec{AC}$
Punktene A, B og C ligger ikke på en rett linje.
b)
$\vec{CD} = [-3, t - 5] \\ \vec{DA} = [1, 1- t] \\ \vec{CD} \cdot \vec{DA} =0 \\ [-3, t-5] \cdot [ 1, 1-t] = 0 \\ -3 + (t-5)(1-t)= 0 \\ -t^2+6t - 8 = 0 \\ t= 2 \vee t =4$
c)
Oppgave 6
a)
Antall mulige fagkombinasjoner med 2 realfag og 2 andre fag:
${5\choose2}\cdot{8\choose2}=\frac{5\cdot4}{2!}\cdot\frac{8\cdot7}{2!}=10\cdot28=280$
b)
Antall mulige fagkombinasjoner med 4 fag hvor minst 2 er realfag:
${5\choose2}\cdot{8\choose2}+{5\choose3}\cdot{8\choose1}+{5\choose4}=280+\frac{5\cdot4\cdot3}{3!}\cdot8+5=280+80+5=365$
Oppgave 7
a)
Nullpunktene til f er (-2, 0) og (4, 0).
b)
$f(x)=x^2+px+q$
$A=(0,1)$
$B=(-p,q)$
$\vec{OS}=\vec{OA}+\frac{1}{2}\vec{AB}=[0,1]+\frac{1}{2}[-p,q-1]=[\frac{-p}{2},1+\frac{q-1}{2}]=[\frac{-p}{2},\frac{q+1}{2}]$
$S=(\frac{-p}{2},\frac{q+1}{2})$
$r=|\vec{AS}|=\sqrt{(\frac{-p}{2})^2+(\frac{q-1}{2})^2}=\sqrt{\frac{p^2+(q-1)^2}{4}}=\frac{\sqrt{p^2+(q-1)^2}}{2}$
c)
Likning for sirkel:
$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2$
$(x+\frac{p}{2})^2+(y-\frac{q+1}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}$
Skjæring med x-aksen:
$y=0$
$(x+\frac{p}{2})^2+(-\frac{q+1}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}$
$(x+\frac{p}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}-\frac{(q+1)^2}{4}$
$x+\frac{p}{2}=\frac{\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$
$x=\frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$
Nullpunkter til $f(x)$:
$x^2+px+q=0$
$x=\frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$
Sirkelen skjærer x-aksen i nullpunktene til $f(x)$.
DEL TO
Oppgave 1
a)
Det er to bunker:
$P(F) = P( \bar{F})= 0,5$
To røde kort fra bunke A:
$ P(R|F) = \frac 58 \cdot \frac 47 = \frac {5}{14}$
To røde kort fra bunke B:
$P(R| \bar{F})= \frac 37 \cdot \frac 26 = \frac 17$
b)
Den totale sannsynligheten for to røde kort: