R1 2016 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner
Linje 168: | Linje 168: | ||
===a)=== | ===a)=== | ||
Det er to bunker: | |||
$P(F) = P( \bar{F})= 0,5$ | |||
===b)=== | ===b)=== |
Sideversjonen fra 25. mai 2016 kl. 05:34
Løsningsforslag (pdf) fra bruker joes. Send gjerne en melding hvis du har kommentarer til løsningsforslaget. På forhånd, takk.
Løsningsforslag (pdf) fra bruker LektorH.
Løsningsforslag (pdf) fra bruker Claves
DEL EN
Oppgave 1
a)
$f(x)=-3x^2+6x-4$
$f'(x)=-6x+6= -6(x-1)$
b)
$g(x)=5\ln(x^3-x)$
$g'(x)=\frac{5(3x^2-1)}{x^3-x}$
c)
$h(x)=\frac{x-1}{x+1}$
$h'(x)=\frac{x+1-(x-1)}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$
Oppgave 2
a)
$p(x)=x^3-7x^2+14x+k$
$p(x)$ er delelig med $(x-2)$ hvis og bare hvis $p(2)=0$
$p(2)=8-7\cdot4+14\cdot2+k=8-28+28+k=8+k$
$8+k=0$
$k=-8$
b)
$ \quad x^3-7x^2+14x-8 :(x-2)= x^2 - 5x + 4 \\ -(x^3-2x^2) \\ \quad \quad-5x^2 + 14x -8 \\ \quad \quad -(-5x^2 -10x) \\ \quad \quad \quad \quad \quad (4x -8)$
$x= \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} \\ x= 1 \vee x =4 \\ \\ P(x)= (x-1)(x-2)(x-4)$
c)
$P(x) \leq 0 $
$x \in < \leftarrow,1] \cup [2,4]$
Oppgave 3
a)
$f(x)=x^2e^{1-x^2}$
$f'(x)=2xe^{1-x^2}+x^2\cdot-2xe^{1-x^2}=2xe^{1-x^2}(1-x^2)$
b)
c)
d)
Oppgave 4
a)
$AB=AC=BC=6 \ cm$
$HB=\frac{1}{2}AB=3 \ cm$
$CH=\sqrt{(BC)^2-(HB)^2}=\sqrt{6^2-3^2} \ cm=\sqrt{27}=\sqrt{3^3} \ cm=3\sqrt{3} \ cm$
$CF=CE=\sqrt{(BC)^2+(BE)^2}=\sqrt{6^2+6^2} \ cm=\sqrt{2\cdot6^2} \ cm=6\sqrt{2} \ cm$
$HF=\sqrt{(CF)^2-(CH)^2}=\sqrt{72-27} \ cm=\sqrt{45} \ cm=\sqrt{9\cdot5} \ cm=3\sqrt{5} \ cm$
b)
$\frac{AF}{AB}=\frac{3+3\sqrt{5}}{6}=\frac{3(1+\sqrt{5})}{2\cdot3}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi$
Oppgave 5
a)
$\vec{AB} =[5-1,2-1] = [4, 1] \\ \vec{AC} = [3-1, 5-1]=[2,4] \\ \vec{AB} \neq k \vec{AC}$
Punktene A, B og C ligger ikke på en rett linje.
b)
$\vec{CD} = [-3, t - 5] \\ \vec{DA} = [1, 1- t] \\ \vec{CD} \cdot \vec{DA} =0 \\ [-3, t-5] \cdot [ 1, 1-t] = 0 \\ -3 + (t-5)(1-t)= 0 \\ -t^2+6t - 8 = 0 \\ t= 2 \vee t =4$
c)
Oppgave 6
a)
Antall mulige fagkombinasjoner med 2 realfag og 2 andre fag:
${5\choose2}\cdot{8\choose2}=\frac{5\cdot4}{2!}\cdot\frac{8\cdot7}{2!}=10\cdot28=280$
b)
Antall mulige fagkombinasjoner med 4 fag hvor minst 2 er realfag:
${5\choose2}\cdot{8\choose2}+{5\choose3}\cdot{8\choose1}+{5\choose4}=280+\frac{5\cdot4\cdot3}{3!}\cdot8+5=280+80+5=365$
Oppgave 7
a)
Nullpunktene til f er (-2, 0) og (4, 0).
b)
$f(x)=x^2+px+q$
$A=(0,1)$
$B=(-p,q)$
$\vec{OS}=\vec{OA}+\frac{1}{2}\vec{AB}=[0,1]+\frac{1}{2}[-p,q-1]=[\frac{-p}{2},1+\frac{q-1}{2}]=[\frac{-p}{2},\frac{q+1}{2}]$
$S=(\frac{-p}{2},\frac{q+1}{2})$
$r=|\vec{AS}|=\sqrt{(\frac{-p}{2})^2+(\frac{q-1}{2})^2}=\sqrt{\frac{p^2+(q-1)^2}{4}}=\frac{\sqrt{p^2+(q-1)^2}}{2}$
c)
Likning for sirkel:
$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2$
$(x+\frac{p}{2})^2+(y-\frac{q+1}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}$
Skjæring med x-aksen:
$y=0$
$(x+\frac{p}{2})^2+(-\frac{q+1}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}$
$(x+\frac{p}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}-\frac{(q+1)^2}{4}$
$x+\frac{p}{2}=\frac{\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$
$x=\frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$
Nullpunkter til $f(x)$:
$x^2+px+q=0$
$x=\frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$
Sirkelen skjærer x-aksen i nullpunktene til $f(x)$.
DEL TO
Oppgave 1
a)
Det er to bunker:
$P(F) = P( \bar{F})= 0,5$