R1 2016 vår LØSNING

oppgaven som pdf

Løsningsforslag (pdf) fra bruker joes. Send gjerne en melding hvis du har kommentarer til løsningsforslaget. På forhånd, takk.

Løsningsforslag (pdf) fra bruker LektorH.

Diskusjon av denne oppgaven

a)

$f(x)=-3x^2+6x-4$

$f'(x)=-6x+6= -6(x-1)$

b)

$g(x)=5\ln(x^3-x)$

$g'(x)=\frac{5(3x^2-1)}{x^3-x}$

c)

$h(x)=\frac{x-1}{x+1}$

$h'(x)=\frac{x+1-(x-1)}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$

a)

$p(x)=x^3-7x^2+14x+k$

$p(x)$ er delelig med $(x-2)$ hvis og bare hvis $p(2)=0$

$p(2)=8-7\cdot4+14\cdot2+k=8-28+28+k=8+k$

$8+k=0$

$k=-8$

b)

$ \quad x^3-7x^2+14x-8 :(x-2)= x^2 - 5x + 4 \\ -(x^3-2x^2) \\ \quad \quad-5x^2 + 14x -8 \\ \quad \quad -(-5x^2 -10x) \\ \quad \quad \quad \quad \quad (4x -8)$

$x= \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} \\ x= 1 \vee x =4 \\ \\ P(x)= (x-1)(x-2)(x-4)$

c)

$P(x) \leq 0 $

$x \in < \leftarrow,1] \cup [2,4]$

a)

$f(x)=x^2e^{1-x^2}$

$f'(x)=2xe^{1-x^2}+x^2\cdot-2xe^{1-x^2}=2xe^{1-x^2}(1-x^2)$

c)

a)

$AB=AC=BC=6 \ cm$

$HB=\frac{1}{2}AB=3 \ cm$

$CH=\sqrt{(BC)^2-(HB)^2}=\sqrt{6^2-3^2} \ cm=\sqrt{27}=\sqrt{3^3} \ cm=3\sqrt{3} \ cm$

$CF=CE=\sqrt{(BC)^2+(BE)^2}=\sqrt{6^2+6^2} \ cm=\sqrt{2\cdot6^2} \ cm=6\sqrt{2} \ cm$

$HF=\sqrt{(CF)^2-(CH)^2}=\sqrt{72-27} \ cm=\sqrt{45} \ cm=\sqrt{9\cdot5} \ cm=3\sqrt{5} \ cm$

b)

$\frac{AF}{AB}=\frac{3+3\sqrt{5}}{6}=\frac{3(1+\sqrt{5})}{2\cdot3}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi$

a)

Antall mulige fagkombinasjoner med 2 realfag og 2 andre fag:

${5\choose2}\cdot{8\choose2}=\frac{5\cdot4}{2!}\cdot\frac{8\cdot7}{2!}=10\cdot28=280$

b)

Antall mulige fagkombinasjoner med 4 fag hvor minst 2 er realfag:

${5\choose2}\cdot{8\choose2}+{5\choose3}\cdot{8\choose1}+{5\choose4}=280+\frac{5\cdot4\cdot3}{3!}\cdot8+5=280+80+5=365$

b)

$f(x)=x^2+px+q$

$A=(0,1)$

$B=(-p,q)$

$\vec{OS}=\vec{OA}+\frac{1}{2}\vec{AB}=[0,1]+\frac{1}{2}[-p,q-1]=[\frac{-p}{2},1+\frac{q-1}{2}]=[\frac{-p}{2},\frac{q+1}{2}]$

$S=(\frac{-p}{2},\frac{q+1}{2})$

$r=|\vec{AS}|=\sqrt{(\frac{-p}{2})^2+(\frac{q-1}{2})^2}=\sqrt{\frac{p^2+(q-1)^2}{4}}=\frac{\sqrt{p^2+(q-1)^2}}{2}$

c)

Likning for sirkel:

$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2$

$(x+\frac{p}{2})^2+(y-\frac{q+1}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}$

Skjæring med x-aksen:

$y=0$

$(x+\frac{p}{2})^2+(-\frac{q+1}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}$

$(x+\frac{p}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}-\frac{(q+1)^2}{4}$

$x+\frac{p}{2}=\frac{\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

$x=\frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

Nullpunkter til $f(x)$:

$x^2+px+q=0$

$x=\frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

Sirkelen skjærer x-aksen i nullpunktene til $f(x)$.