Trigonometri R2

Absolutt vinkelmål

Radianer (også kalt absolutt vinkelmål) er definert ved at <tex>360^\circ = 2\pi\</tex> radianer.

Trigonometeriske funksjoner

De tre sentrale trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus og tangens, som er et produkt av sinus og cosinus. Sinus er den viktigste trigonometriske funksjonen, siden alle de andre trigonometriske funksjonene kan utledes fra denne.

Definisjon av sin x og cos x

Ta utgangspunkt i figuren under:

Når vi konstruerer en enhetssirkel og en radius med vinkel <tex>\alpha</tex> på x-aksen slik figuren viser, vil radien skjære sirkelperiferien i punktet <tex>P</tex>. Hvis trekker normalene fra <tex>P</tex> på koordinataksene, vil de skjære disse i punktene <tex>A</tex> og <tex>B</tex> slik figuren viser. Da vil y-verdien til punktet <tex>A</tex> være lik <tex>\sin\,\alpha</tex> og x-verdien til punktet <tex>B</tex> være lik <tex>\cos\,\alpha</tex>

Når vi plotter sinus- og cosinuskurvene ser de slik ut:

Sinus- og cosinuskurvene har begge perioder på <tex>2\pi</tex> radianer.

Merk at cosinusfunksjonen kun er sinusfunkjsonen forskjøvet <tex>\frac{\pi}{2}</tex> radianer i minusretningen. Altså gjelder det at <tex>sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos\,x</tex>

Definisjon av tan(x)

Tangensfunksjonen er definert slik at

<tex>\tan\,x=\frac{\sin\,x}{\cos\,x}</tex>

Når vi plotter tangenskurven, ser den slik ut:

Tangenskurven har en periode på <tex>\pi</tex> radianer.

Fortegn av trigonometriske funksjoner

Dette diagrammet viser fortegnene til de forskjellige trigonometriske funksjonene for forskjellige vinkler. Den sorte streken gjennom tangensdiagrammet viser vinklene der <tex>\tan\,x</tex> går mot <tex>\pm\infty</tex>. Vi får et bruddpunkt, og det er derfor meningsløst å snakke of fortegnet til <tex>\tan\,x</tex> når <tex>x=\frac{\pi}{2}</tex> eller <tex>x=\frac{3\pi}{2}</tex>.

Hvis du kan disse diagrammene utanat, vil du kunne vurdere hvilke løsninger du forventer til trigonometriske ligninger. Det vil bli lettere å vurdere om løsningene stemmer.

Noen viktige verdier av sin x, cos x og tan x

Verdiene i tabellen under bør du memorisere. Å kunne disse utenat vil være til stor hjelp i løsingen av trigonometriske ligninger.

Viktige trigonometriske identiteter

Ettersom alle de trigonometriske funksjonene er periodiske, vil de samme verdiene gå igjen for hver syklus. Generellt gjelder det at

<tex>\sin(x+2\pi)=\sin\,x</tex>

<tex>\cos(x+2\pi)=\cos\,x</tex>

<tex>\tan(x+\pi)=\tan\,x</tex>

Å være klar over disse sammenhengene vil ha betydning når vi senere vurderer løsninger av trigonometriske ligninger.

Ut ifra figuren om definisjonen av sinus og cosinus kan vi se flere egenskaper ved funksjonene. Spesifikt,

<tex>\sin(\pi-x)=\sin\,x</tex>

<tex>\sin(-x)=-\sin\,x</tex>

<tex>\cos(2\pi-x)=\cos\,x</tex>

<tex>\tan(-x)=-\tan\,x</tex>

De trigonometriske funksjonene har mange viktige relasjoner med hverandre. Noe som gjelder per definisjon for sinus og cosinus er identiteten

<tex>\sin^2x+\cos^2x=1</tex>

som lett kan vises geometrisk med Pythagorassetningen, se figuren om definisjonen av sinus og cosinus.Denne identiteten er viktig fordi den lar oss omforme sinus til cosinus og omvendt.

Som vi senere skal se, henger også tangens sammen med cosinus på følgende måte:

<tex>\tan^2x+1=\frac{1}{\cos^2x}</tex>

Denne identiteten beviser vi lenger nede i artikkelen.

Inverse trigonometriske funksjoner

Vi definerer de inverse trigonometriske funksjonene <tex>\arcsin</tex>, <tex>\arccos</tex> og <tex>\arctan</tex> slik at

<tex>\arcsin(\sin\,x)=x\,,\,x\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</tex>

<tex>\arccos(\cos\,x)=x\,,\,x\in [0,\pi]</tex>

<tex>\arctan(\tan\,x)=x\,,\,x\in \<-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\></tex>

Dersom <tex>x</tex> ikke befinner seg i disse mengdene, vil du likevel få en verdi innenfor disse mengdene. Ha dette i bakhodet når du løser trigonometriske ligninger på kalkulator.

Sumformelen for sin x og cos x

Hvis vi vet verdien av sinus og cosinus til to forskjellige vinkler, kan vi finne sinus og cosinus til summen av vinklene. Vi vet at

<tex>\sin(v\pm u)=\sin\,v\,\cos\,u\pm\cos\,v\,\sin\,u</tex>

og

<tex>\cos(v\pm u)=\cos\,v\,\cos\,u\mp \sin\,v\,\sin\,u</tex>

Også disse identitetene kan bevises geometrisk.

Trigonometriske ligninger

Trigonometriske ligninger er ligninger der trigonometriske funksjoner av variabler inngår. Disse er nyttige i mange abstrakte og fysiske situasjoner.

Trigonometriske grunnligninger

Trigonometriske ligninger som kun involverer én trigonomatrisk funksjon, kaller vi trigonometriske grunnligninger. Dise er de enkleste trigonometriske ligningene å løse, og krever kun kunnskap om de trigonometriske funksjonenes inverser.

Derivasjon av trigonometriske funksjoner

---

Tilbake til R2 Hovedside