Skalarprodukt

Et skalarprodukt er en regneoperasjon (multiplikasjon) mellom to vektorer. Skalarproduktet er et såkalt indreprodukt. Resultatet av regneoperasjonen er et reelt tall. Tallet bestemmes av lengden på vektorene og vinkelen mellom dem.

Vinkelen v mellom vektorene skal være element i intervallet [0°,180°]. Vi har vektorene <tex>\vec{a}</tex> og <tex>\vec{b}</tex>.

Skalarproduktet defineres som:

<tex>\vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot |\vec{b}| cos(v)</tex>

og leses "a vektor prikk b vektor er lik lengden av a vektor multiplisert lengden av b vektor multiplisert cosinus til vinkelen mellom dem".

Vektorene skrives av og til med fete typer og andre ganger med en liten pil over. Som man ser er det ikke konsekvens, man bør kjenne begge. På samme måte er det med lengden av en vektor, du vil støte på både |<tex>\vec{v}</tex>| og ||<tex>\vec{v}</tex>|| som notasjon, men begge betyr altså lengden av vektoren v.

Koordinatform

I planet

I et ortonormert koordinatsystem har vi følgende i planet:

Dersom vektoren <tex>\vec{a} = [x_a,y_a]</tex> og vektor <tex>\vec{a} = [x_b,y_b]</tex> har vi at

<tex>\vec{a}\cdot \vec{b} = x_ax_b+y_ay_b</tex> Eksempelvis, dersom <tex>\vec{a}</tex> = [1,5] og <tex>\vec{b}</tex> = [-2,3] er skalarproduktet:

[1,5] · [-2,3] = -2 + 15 = 13

I rommet

Vektorene <tex>\vec{a}= [x_a,y_a,z_a]</tex> og <tex>\vec{b}= [x_b,y_b,z_b]</tex> gir skalarprodukt:

<tex>\vec{a}\cdot \vec{b} = x_ax_b+y_ay_b+a_zb_z</tex>

Praktisk bruk

Normale linjer

Skalarproduktet er egnet til å finne ut om to vektorer står vinkelrett på hverandre. Dersom vektorene a og b har lengder forskjellig fra null står vektoren normalt på hverandre vis og bare vis skalarproduktet er null.

a · b = 0

Arbeid

I fysikken brukes skalarproduktet i definisjonen av arbeid:

<tex>W=\vec{F}\cdot\vec{s}</tex>