S2 eksempeloppgave 2015 vår LØSNING

Oppgave 1

a)

$f(x)=3x^3-2x+5 \\ f'(x)=3\cdot 3x^{2}-2=9x^{2}-2$

b)

$g(x)=xe^{2x} \\ g'(x)=1⋅e^{2x}+x⋅2e^{2x}=(1+2x) e^{2x}$

Oppgave 2

Bestem $h'(2)$ når $h(x)=\frac{e^x}{x-1}$

$h'(x)=\frac{e^x⋅(x-1)-e^x⋅1}{(x-1)^2}=\frac{xe^x-e^x-e^x}{(x-1)^2} =\frac{xe^x-2e^x}{(x-1)^2} =\frac{(x-2) e^x}{(x-1)^2} \\ h'(2)=\frac{(2-2) e^2}{(2-1)^2} =\frac{0⋅e^2}{1}=0 $

Oppgave 3

$P(x)=2x^3-6x^2-8x+24$

a)

$P(3)=2⋅3^3-6⋅3^2-8⋅3+24\\ =2⋅27-6⋅9-24+24\\ =54-54-24+24=0 $

b)

Vi har vist at $P(x)=0$ for $x=3$. Då seier nullpunktsetninga at polynomdivisjonen $P(x):(x-3)$ går opp.

$(2x^3-6x^2-8x+24):(x-3)=2x^2-8$

Faktoriserer $2x^2-8$:

$2x^2-8=2(x^2-4)=2(x-2)(x+2)$

$P(x)=(2x^2-8)(x-3)=2(x-2)(x+2)(x-3)$

c)

$\frac{2x^3-6x^2-8x+24}{2x^2-8}=\frac{2(x-2)(x+2)(x-3)}{2(x-2)(x+2)} =(x-3)$

Oppgave 4

a)

(Sett inn tabell)

Formel for $S_{n}$:

$S_{n}=n^3$

b)

$S_n$ er summen av dei $n$ første ledda

$S_n=a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n$

$S_{n-1}$ er summen av dei $(n-1)$ første ledda:

$S_{n-1}=a_1+a_2+...+a_{n-1}$

Vi får at: $S_n=S_{n-1}+a_n \\ a_n=S_n-S_{n-1}$

$a_n=S_n-S_{n-1} \\ a_n=n^3-(n-1)^3 \\ =n^3-(n-1) (n-1)^2 \\ =n^3-(n-1)(n^2-2n+1) \\ =n^3-n^3+2n^2-n+n^2-2n+1\\ =3n^2-3n+1$

Oppgave 5

$f(x)=x^3-4x^2+4x , \space x∈〈-1,4〉$

a)

Nullpunkt:

$f(x)=0 \\ x^3-4x^2+4x=0 \\ x(x^2-4x+4)=0 \\ x=0 \vee x^2-4x+4=0 \\ x=0 \vee (x-2)^2=0 \\ x=0 \vee x=2 $

Nullpunktene er $x=0$ og $x=2$.

Topp-/bunnpunkt:

$f'(x)=3x^2-8x+4$

$f'(x)=0 \\ 3x^2-8x+4=0 \\ x=\frac{-(-8)±\sqrt{(-8)^2-4⋅3⋅4}}{2⋅3}=\frac{8±\sqrt{64-48}}{6}=\frac{8±\sqrt{16}}{6}=\frac{8±4}{6} \\ x=2 \vee x=\frac{2}{3} $

$3x^2-8x+4=3(x-2)(x-\frac{2}{3}) $

(Sett inn fortegnslinje)

$f(2)=0 \\ f(\frac{2}{3})=\frac{32}{27} $

Toppunktet er $(\frac{2}{3},\frac{32}{27})$ . Bunnpunktet er $(2,0)$.

Oppgave 6

$f(0)=300, \space f'(10)=0 $ og $f' '(10)=-10 $

Ved starten av utbruddet, når $t=0$ er spruter det ut 300 tonn lava per time.

Etter 10 timer er veksten lik 0. Fordi den andrederiverte er negativ for $t=10$, vet vi at dette må være et toppunkt. Etter 10 timer er mengden lava per time størst.

Mengden lava per time øker fram til det har gått 10 timer, for deretter å avta.

Oppgave 7

Overskudd er inntekter minus kostnader.

$O(x)=I(x)-K(x)$

Overskuddet er størst når $O'(x)=0$ (Toppunktet på grafen til $O(x)$)

Vi deriverer og får: $ O'(x)=I' (x)-K' (x) $

$O' (x)=0 \\ \Updownarrow \\ I' (x)-K' (x)=0 \\ I' (x)=K'(x) $

Når grensekostnaden er lik grenseinntekta er overskuddet størst.

Oppgave 8

a)

$x=95$ gir

$z=\frac{x-μ}{σ}=\frac{95-100}{15}=\frac{-5}{15}=-\frac{1}{3} \approx -0,33$

$P(X≤95)=P(Z≤-0,33)=0,3707$

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person vil skåre mindre enn 95 poeng, er ca. 37 %.

b)

Vi skal finne den $z$-verdien, som gjør at sannsynligheten $P(Z≥z)=0,02$.

Det er det samme som at $P(Z≤z)=0,98$. I tabellen for standard normalfordeling finner vi at det er $z=2,05$.

Vi kan nå regne om og finne $x$.

$ z=\frac{x-μ}{σ} \Rightarrow \\ 2,05=\frac{x-100}{15} \\ 30,75=x-100 \\ x=130,75 $

Du må minst skåre 131 poeng for å kunne bli medlem av Mensa.