S2 eksempeloppgave 2015 vår LØSNING

Oppgave 1

a)

$f(x)=3x^3-2x+5 \\ f'(x)=3\cdot 3x^{2}-2=9x^{2}-2$

b)

$g(x)=xe^{2x} \\ g'(x)=1⋅e^{2x}+x⋅2e^{2x}=(1+2x) e^{2x}$

Oppgave 2

Bestem $h'(2)$ når $h(x)=\frac{e^x}{x-1}$

$h'(x)=\frac{e^x⋅(x-1)-e^x⋅1}{(x-1)^2}=\frac{xe^x-e^x-e^x}{(x-1)^2} =\frac{xe^x-2e^x}{(x-1)^2} =\frac{(x-2) e^x}{(x-1)^2} \\ h'(2)=\frac{(2-2) e^2}{(2-1)^2} =\frac{0⋅e^2}{1}=0 $

Oppgave 3

$P(x)=2x^3-6x^2-8x+24$

a)

$P(3)=2⋅3^3-6⋅3^2-8⋅3+24\\ =2⋅27-6⋅9-24+24\\ =54-54-24+24=0 $

b)

Vi har vist at $P(x)=0$ for $x=3$. Då seier nullpunktsetninga at polynomdivisjonen $P(x):(x-3)$ går opp.

$(2x^3-6x^2-8x+24):(x-3)=2x^2-8$

Faktoriserer $2x^2-8$:

$2x^2-8=2(x^2-4)=2(x-2)(x+2)$

$P(x)=(2x^2-8)(x-3)=2(x-2)(x+2)(x-3)$

c)

$\frac{2x^3-6x^2-8x+24}{2x^2-8}=\frac{2(x-2)(x+2)(x-3)}{2(x-2)(x+2)} =(x-3)$

Oppgave 4

a)

(Sett inn tabell)

Formel for $S_{n}$:

$S_{n}=n^3$

b)

$S_n$ er summen av dei $n$ første ledda

$S_n=a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n$

$S_{n-1}$ er summen av dei $(n-1)$ første ledda:

$S_{n-1}=a_1+a_2+...+a_{n-1}$

Vi får at: $S_n=S_{n-1}+a_n \\ a_n=S_n-S_{n-1}$

$a_n=S_n-S_{n-1} \\ a_n=n^3-(n-1)^3 \\ =n^3-(n-1) (n-1)^2 \\ =n^3-(n-1)(n^2-2n+1) \\ =n^3-n^3+2n^2-n+n^2-2n+1\\ =3n^2-3n+1$

Oppgave 5

$f(x)=x^3-4x^2+4x , \space x∈〈-1,4〉$

a)

Nullpunkt:

$f(x)=0 \\ x^3-4x^2+4x=0 \\ x(x^2-4x+4)=0 \\ x=0 \vee x^2-4x+4=0 \\ x=0 \vee (x-2)^2=0 \\ x=0 \vee x=2 $

Nullpunktene er $x=0$ og $x=2$.

Topp-/bunnpunkt:

$f'(x)=3x^2-8x+4$

$f'(x)=0 \\ 3x^2-8x+4=0 \\ x=\frac{-(-8)±\sqrt{(-8)^2-4⋅3⋅4}}{2⋅3}=\frac{8±\sqrt{64-48}}{6}=\frac{8±\sqrt{16}}{6}=\frac{8±4}{6} \\ x=2 \vee x=\frac{2}{3} $

$3x^2-8x+4=3(x-2)(x-\frac{2}{3}) $

(Sett inn fortegnslinje)

$f(2)=0 \\ f(\frac{2}{3})=\frac{32}{27} $

Toppunktet er $(\frac{2}{3},\frac{32}{27})$ . Bunnpunktet er $(2,0)$.