S1 2014 høst LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Linje 144: Linje 144:
[[File:s1-2014h-1a2.png]]
[[File:s1-2014h-1a2.png]]


Man observerer at den momentane vekstfarten i (2, f(2)) er lik den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [1, 3].
Man observerer at den momentane vekstfarten i (2, f(2)) er lik den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [1,3].


===b)===
===b)===

Sideversjonen fra 28. mar. 2015 kl. 14:46

DEL EN

Oppgave 1

a)

2x10=x(x5)x2+7x10=0x=7±494(1)(10)2x=7±32x=2x=5

b)

lg(x2)+3=5lg(x2)=210lg(x2)=102x2=100x=200

Oppgave 2

995995=(10005)2=1000000251000+25=990025

Oppgave 3

[2x=y44x2+3y=12]

[y=2x+44x2+3(2x+4)=12]

Løser x av ligning to og får:

4x2+6x+12=124x2+6x=0x(4x+6)=0x=0x=32

Setter inn x verdier i ligning en og finner tilhørende y verdi:

x=0y=4,x=32y=1x=0y=4x=32y=1

Oppgave 4

lg(a2b)+lg(a2b2)lg(ab)=2lgalgb+2lga+2lgblgb+lga=5lga

Oppgave 5

a)

f(x)=23x3+x2+2Df=\Rf´(x)=2x2+2x=2x(x+1)

b)

f´(x)=02x(x+1)=0x=0x=1

f har ekstremalpunkter for x = 0, og for x = 1. For å finne ut hva som er maksimum og hva som er minimumspunkt kan vi tegne et fortegnsskjema.

f(0)=2f(1)=73

Minimumspunkt: (0,2)

Maksimumspunkt: (1,73)

c)

f(3)=2333+32+2=29+9+2=7

Funksjonen er positiv for alle x verdier fra minus uendelig til et sted etter maksimumspunktet. Funksjonen har derfor bare ett nullpunkt, for x ett sted mellom 1 og 3.

Oppgave 6

a)

Dersom man kan bruke en bokstav flere ganger, et det trekkning med tilbakelegging: 444=43=64

Det er mulig å lage 64 koder med fire bokstaver i tre posisjoner.

b)

Dersom en bokstav kun kan brukes en gang har vi trekkning uten tilbakelegging: 432=24

Det er mulig å lage 24 koder dersom en bokstav kun skal brukes en gang.

c)

Det er ofte mange måter å løse problemer på. Her er en: Vi skal lage en kode på tre bokstaver. Koden skal bestå av to eller tre like bokstaver.

Dersom koden består av bare like bokstaver er det kun fire muligheter, fordi vi bare har fire forskjellige bokstaver.

Dersom man har to like bokstaver kan disse arrangeres slik:

AAxAxAxAA

Der x er bokstavnen B, C eller D.

Man har fire mulige dobble bokstaver, tre forskjellige posisjoner, og tre mulige valg av bokstaver etter de dobble er trukket. Det gir

433=36 muligheter. Om man i tillegg tar med de fire mulighetene for tre like bokstaver, ser man at det er mulig å lage 40 forskjellige koder dersom hver av kodene skal inneholde minst to like bokstaver.

Dette fant vi ut ved å tenke, uten hjelp fra svaret i deloppgave a og b. Litt lettere blir det dersom man ser at det svaret man er ute etter i c, denne oppgaven, er svaret i a minus svaret i b.

Alle fire bokstaver kan brukes flere ganger - Hver bokstav kan bare brukes en gang = 64 - 24 = 40

Oppgave 7

a)

E(x)=4x+1200+20000x,x>0E(200)=4200+1200+20000200E(200)=2100


Dersom det produseres 200 enheter er enhetskostnaden kr. 2100,-

De samlede produksjonskostnadene blir:

K(x)=200E(200)=420.000

Totale produksjonskostnader blir 420 000 kroner.

b)

Overskudd er inntekter minus kostnader.

O(x)=I(x)K(x)O(c)=2000x(4x2+1200x+20000)O(x)=4x2+800x20000

c)

Vi deriverer oveskuddsfunksjonen og setter den deriverte lik null, og finner x. ( Vi ser at dette er en parabel med et maksimum, siden det er negativt fortegn forran andregradsleddet.)

O´(x)=8x+800O´(x)=08x+800=0x=100

Produksjon av hundre enheter gir det største overskuddet, O(100) = 20000 kr.

Oppgave 8

f(x)=x3xf´(x)=3x21

Vi har fasiten så da er det bare å gå i gang. Definisjonen på den deriverte er:

f´(x)=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx

Vi får da:

limΔx0((x+Δx)3(x+Δx))(x3x)Δx=limΔx0(x+Δx)(x+Δx)(x+Δx)(x+Δx)(x3x)Δx=limΔx0(x2+2x(Δx)+(Δx)2)(x+Δx)(x+Δx)(x3x)Δx=limΔx0x3+2x2Δx+x(Δx)2+x2Δx+2x(Δx)2+(Δx)3xΔxx3+xΔx=limΔx0Δx(3x2+3x(Δx)+(Δx)21)Δx=limΔx03x2+3x(Δx)+(Δx)21=3x21

Hvilket skulle vises. (Delta x går jo mot null, så de to midterste leddene bortfaller.)

DEL TO

Oppgave 1

a)

Man observerer at den momentane vekstfarten i (2, f(2)) er lik den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [1,3].

b)

Oppgave 2

a)

b)

c)

Oppgave 3

a)

P(X=3)=(103)0,43(0,6)7=0,215=21,5 %

Det er 21,5% sannsynlig at bussen stopper ved tre holdeplasser, dvs. at den bruker 23 minutter på turen.

b)

Det er 63,3% sannsynlig at bussturen tar mindre enn 25 munutter.

c)

Her har man en hypergeometrisk situasjon.

Det er 53,8 % sannsynlig at minst en sniker blir tatt.

Oppgave 4

a)

g(x)=3,31x0,33 er en potensfunksjon sm passer til tallene i tabellen.

b)

Fra figuren i a) ser man at det vil ta 28,14 timer, før tanken er full. Det tilsvare i overkant av 28 timer og 8 minutter. Vi kjenner ikke radius av kjeglens grunnflate og må derfor gå veien om vannmengde per time for å finne det totale volumet:

V=18m3/time28,14timer=506,52m3

c)

Ny tank skal romme 1000 m3 og ha samme form som den gamle tanken.

Radius i gammel tank:

r=3Vπh6,95m

Forholdet mellom høyde og radius i gammel tank er hr=1,44. Forholdet skal være det samme i ny tank, siden formen skal være den samme:

V=13πr21,44rr=3V1,44π3=8,72m

Høyden i den nye tanken er h=1,44r=12,56m

Pumpen pumper 18 m3 per time. Den bruker: 1000m318m3/time=55,56timer, som tilsvarer ca. 55 timer og 34 minutter.

Oppgave 5

a)

b)

c)

Oppgave 6

a)

8x+4y=900y=225+2x

Volum av prisme:

V(x,y)=x2yV(x)=x2(2252x)V(x)=2x3+225x2

Som skulle vises.

b)

V(x)=6x2+450xV(x)=06x2+450x=0x=0x=75

Størst volum får pakken når x= 75 centimeter. Da er y=225275=75 cm. Man ser at volumet av pakken blir størst når alle sidene i prismet er like lange.

Oppgave 7

a)

x0y0  : Man kan ikke produsere mindre enn null kg av noen av typene.

0,60x+0,20y800 , er begrensningen på mel.

0,40x+0,80y1000 , er begrennsningen på kjøttdeig.

b)

Inntektene blir størst om de produserer 1100 kg av type A og 700 kg av type B. Inntektene blir da:

701100+110700=154000 kroner.

c)

Dersom de kun har kapasitet til å produsere 1500 kg, har man at x + y = 1500 (se linje i figur over). Den optimale produksjonen blir da 500 kg av A og 1000 kg av B. Inntektene blir da 145000 kroner.