Prosentregning

Innledning

Med prosent mener vi "del av hundre". Vi bruker tegnet %.

Eksempel 1:
58% er det samme som <tex> \frac{58}{100} </tex> eller 0,58.

Som man ser er det en sammenheng mellom prosent, brøk og desimaltall. Desimaltallet, i dette tilfellet 0,58, kalles ofte prosentfaktoren. Skal man gå fra prosent til brøk tar vi prosenten og deler på 100. Utfører vi divisjonen finner vi prosentfaktoren:

<tex> \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}</tex>

Følgende likning gjelder:

<tex>DelAvTallet= \frac{Heletallet \cdot Prosent}{100} </tex>

"Prosent" er prosenten av helheten
"HeleTallet" er det vi skal finne prosenten av.
"DelAvTallet" er det vi får når vi har tatt prosenten (x%) av "HeleTallet"

Del av tallet

For å finne delen av tallet må man kjenne hele tallet, altså det man skal finne prosenten av, og prosenten: <tex>DelAvTallet= \frac{Heletallet \cdot Prosent}{100} </tex>

Eksempel 3: En TV er på tilbud. Full pris er 3600 kr. Hva er avslaget i kroner når man får 20% avslag på full pris? <tex>DelAvTallet= \frac{3600kr \cdot 20}{100} = 720 kr</tex>

Prosenten

For å finne prosenten, må man kjenne hele tallet og delen av tallet:
<tex>Prosent= \frac{DelAvTallet \cdot 100}{Heletallet} </tex>

For å finne delen av tallet må man kjenne hele tallet, altså det man skal finne prosenten av, og prosenten:
<tex>Prosent= \frac{DelAvTallet \cdot 100}{Heletallet} </tex>

Dersom vi skal finne prosenten bruker vi fortsatt ligning (1), men vi omformer den slik at vi får:

(2) Prosenten: Eksempel 4: Av en befolkning på 500.000 er det 6000 som lider av schizofreni. Hvor mange prosent lider av sykdommen? Vi bruker (2) og får:

4.4

Hele tallet

Hele tallet kan man finne når prosenten og delen av tallet er kjent. Vi bruker:

(3) Eksempel 5: På en arbeidsplass var det 8 personer som var syke. Det var 20% av alle ansatte. Hvor mange ansatte var det på arbeidsplassen? Vi bruker (3) og får

Altså var det 40 personer som var ansatt på dette stedet.

Endringer

Det spørres ofte etter endringer. Husk på at endringen kan betraktes som del av tallet.

Hele tallet blir da tallet før endringen.

Eksempel 6: Prisen på en bolig steg fra kr. 1.600.000 til kr. 1.900.000 på et år. Hva var prisstigningen i prosent? Endringen: 1.900.000kr. - 1.600.000 = 300.000 kr.

Her er hele tallet 1.600.000 da dette var verdien på boligen før endringen. Vi bruker (2) og får:

Eksempel 7: Antall arbeidsledige går ned fra 80600 til 69000, fra en måned til den neste. Hvor stor var nedgangen i prosent? Vi får:

80600 personer - 69000 personer = 11600 personer

Innsatt i (2) får vi:

Banksparing

Banken betaler deg penger for at den får lov til å disponere sparepengene dine. Det kalles renter. Hvor mange kroner du får i renter kommer an på prosenten, eller rentefoten og hvor mye du sparer. Dersom banken tilbyr 4,2% renter p.a. (per år) og vi sparer 1000 kr. i et år, bruker vi formel (1).

Eksempel 8:

Det er tolv måneder i et år. Dersom du sparer i åtte måneder, med betingelsene fra forrige eksempel får vi:

Eksempel 9:

Dersom man skal regne på kortere innskudds / utlånsperioder må man vite at bankene regner alle måneder med 30 rentebærende dager. Et bankår har 360 dager.

Dersom du sparer 1000 kr i 300 dager med 4,2% rente får vi:

Eksempel 10:

Prosentvis & eksponentiell vekst (vekstfaktor)

La oss tenke oss at vi sparer kr. 1000,- og at rentefoten er 4,2%. Hvor mye har vi på konto etter 8 år? Vi må da ta hensyn til rentene vi tjener det første året. Det beløpet blir lagt til de 1000 kronene og er en del av grunnlaget for rentene det andre året. Slik fortsetter det hvert år. La oss bruke formel (1) og se:

År 1: Det første året tjente vi kr 42 i renter. Dette legges til det beløpet vi startet med, slik at ved inngangen til det andre året er sparebeløpet vårt kr 1042.

År 2:

Ved starten av det tredje året vil sparebeløpet vårt være 1042 kr + 43,76 kr = 1085,76 kr. Slik kan vi fortsette til vi har resultatet for det 8. året. Når vi regner renter av rente kaller vi det for rentersrente.

Vi skal nå finne en enklere måte å beregne rentersrente på. La oss kalle de 1000 kronene vi begynner med for K0. La oss kalle sparebeløpet ved første årsskifte for K1. La oss kalle rentefoten for p. Vi har da følgende situasjon:

K2 er pengene vi har i banken etter to år. Fra slutten av første til slutten av andre året vokser pengene med en faktor 1,042. Slik fortsetter det. Etter tredje året har vi K3:

Dette leder oss til følgende formel:

Dette er formelen for prosentvis vekst, også kalt eksponentiell vekst. K0 er det vi har til å begynne med Kn er det vi har etter n år, n er antall år og p er prosenten det vokser med.

Anvender vi denne formelen på problemet vårt finner vi at beløpet vårt etter åtte år er:

Eksempel 11: En bil til kr. 250.000 taper seg med 20% hvert år. Hva er bilens verdi etter 6 år? Hvor mange prosent er verditapet? Svar:

Prosentfaktoren blir 1-0,2 = 0,8. Når prosentfaktoren er mindre enn 1 har man en størrelse som minker med tiden. Er prosentfaktoren større enn 1 har man vekst.

Vi får: 250.000kr ∙ 0,86 = 65.536kr

Vi opphøyer prosentfaktoren i 6 fordi antall år er 6. Vi ser at verditapet er betydelig dersom det er riktig at det årlige tapet er 20%.

Verditapet er: (tap:nypris)∙100 = (184.464kr/250.000)∙ 100 = 74%

Man kunne kanskje være fristet til å si at verditapet er 20% ∙ 6år = 120% - slik er det ikke.

Husk på at verditapet regnes av grunnlaget som er nypris (250.000kr), mens det årlige tapet regnes fra et grunnlag som blir mindre og mindre år for år. Derfor er kronetapet størst i begynnelsen og blir mindre etter hvert som tiden går.

Promille

Promille er del av tusen. Tegnet for promille er ‰. Regnereglene for promille er de samme som for prosent. Promille brukes i medisin og i andre sammenhenger der man arbeider med små deler av en større helhet.

Med promille tenker man kanskje på alkohol. Når man måler alkoholmengden i blodet oppgies del av alkohol i promille. 2‰ betyr at dersom man tar en blodprøve og deler den i 1000 deler vil mengde alkohol i prøven tilsvare to deler.

Man regner mellom prosent og promille slik:

1% = 10‰

for å gå fra prosent til promille multipliserer man med 10. 1 ‰ = 0,1%

for å gå fra promille til prosent dividerer man med 10.