2P 2011 vår LØSNING

MAT 1015

Løsning fra NDLA

Del 1

Oppgave 1

a)

1) <math> 36 200 = 3.62 \cdot 10^4 </math>

2) <math> 0.000 642 = 6.42 \cdot 10^{-4} </math>

3) <math> 53 \text{ millioner} = 5.3 \cdot 10^7 </math>

4) <math> 0.034 \cdot 10^{-2} = 3.4 \cdot 10^{-4} </math>

b)

Prosentvis endring	Vekstfaktor
+ 2%	1 + 0,02 = 1,02
- 68 %	1-0,68 = 0,32
-75%	0,25
+ 100%	2

c)

1) <math>a^4 \cdot \big( a^2 \big)^{-3} \cdot a^0 = a^4 \cdot a^{2 \cdot (-3)} \cdot a^0 = a^4 \cdot a^{-6} \cdot a^0 = a^{4 - 6 + 0} = a^{-2}</math>

2) <math>\frac{2^{-3} \cdot 4^3 } {8^2} = \frac{2^{-3} \cdot (2^2)^3 } {(2^3)^2} = \frac{2^{-3} \cdot 2^6 } {2^6} = 2^{-3} = \frac{1}{8} </math>

d)

0, 0, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5

1)

Median = <Math>\frac {2+3}{2} = 2,5</Math>

Gjennomsnitt = <Math>\frac {2+2+2+3+4+5+5+5}{10} = 2,8</Math>

2)

Antall Mål	Frekvens	Kumulativ Frekvens
0	2	2
1	0	2
2	3	5
3	1	6
4	1	7
5	3	10

3) Den kumulative frekvensen for to mål er fem. Det betyr at i fem av kampene ble det skåret to mål eller mindre.

e)

TUR	Antall elever	Gradetall, sektor
Robåt	15	$ \frac{15 \cdot 360^{\circ}}{120} = 45^{\circ}$
Sykkel	30	$ \frac{30 \cdot 360^{\circ}}{120} = 90^{\circ}$
Høyfjell, kort løype	40	$ \frac{40 \cdot 360^{\circ}}{120} = 120^{\circ}$
Høyfjell, lang løype	35	$ \frac{35 \cdot 360^{\circ}}{120} = 105^{\circ}$

f)

Grunnlaget er forskjellig. I begge butikkene er prisen 100%. I den ene øker prisen med 20%, da blir den nye prisen 120%. I den andre butikken øker prisen med 10%, da blir den nye prisen 110%. Så øker den med 10% igjen, denne gangen av 110% som gir en total på 11% av det som var før første økning, dvs. en økning på 121%

En vare som koster 100 kroner og blir satt opp 20% koster da 120 kroner.

En vare som koster 100 kroner og blir satt opp 10% koster da 110 kroner. Når den blir satt opp nye 10% er det med grunnlag 110 kroner. 10% av 110 kr. er 11 kroner. Ny pris blir da 121 kroner.

g)

Antall minutter	Midtpunkt, $x_m$	Antall elever, f	$x_m \cdot f$
[0,30>	15	1	15
[30,60>	45	3	135
[60,120>	90	5	450
[120, 240>	180	1	180
SUM		10	780

Vi forutsetter at elevene i de forskjellige intervallene fordeler seg jevnt rundt midtpunktet i intervallet. Dette er derfor en for tilnærming.

Gjennomsnitt $\frac{780}{10} = 78$ minutter.

h)

I tillegg til titallsystemet som vi er relativt godt kjent med har vi blant annet totall- og firetallsystemet.

Totallsystem: 64 - 32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1

Firetallsystem: 16 - 4 - 1

$27_{10} = 16 + 8 + 2 + 1 = 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 11011_2 $

I følge tabellen i oppgaven skal det tilsvare 123 i firetallsystemet. Det betyr at vi trenger en av sekstengruppen to firere og tre enere:

$ 27_{10} = 1 \cdot 16_{10} + 2 \cdot 4_{10} + 3 \cdot 1_{10} = 123_{4} $

Første rad blir da:

$27_{10} =11011_2 =123_{4}$

$ 101010_2 = 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 +0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 32 + 0 +8 + 0+ 2 + 0 = 42_{10}$

Fra firetallsystemet over ser man at det trengs to sekstengrupper, to firergrupper og to energrupper, det blir 32 + 8 + 2, i firetallsysemet: $ 222_4$

Tabellen blir da:

$27_{10} =11011_2 =123_{4}$

$42_{10} = 101010_2= 222_4$

Oppgave 2

a)

$^\circ$F	0	50	100
$^\circ$C	-18	10	38

b og c)

Kaka skal stekes på $178^\circ C$

Del 2

Oppgave 3

a)

1)

2)

b)

1)

2)

Oppgave 4

a)

b)

50 sone: ti prosent for fort, eller mer vil si alle biler som kjører i 55 km/h eller fortere.

Det er totalt 29 biler som kjører for fort, av 80. : $\frac{29}{80} \cdot 100 \percent = 36,3 \percent $

80 sone: ti prosent for fort, eller mer vil si alle biler som kjører 88km/h eller fortere. Åtte biler kjører mellom 85 og 90 km/h. Dersom man antar at bilene fordeler seg jevnt i intervallet, (noe vi ikke har holdepunkter for ut fra dataene), vil ca. tre biler ligge over 88 km/h. Det vil da til sammen være 8 biler som kjørere mer enn 10% for fort, av 80 biler. Det er 10% av de bilene som ble målt.

c)

FEMTISONE:

ÅTTISONE:

d)

Her testes prosentvis del av det hele nok en gang, litt fantasiløst og unødvendig, men her er løsningen:

$\frac {3}{80} \cdot 100 \percent = 3,8 \percent$

I femtisonen ligger gjennomsnittsfarten ca 4 % over fartsgrensen.

$ \frac {1}{80} \cdot 100 \percent = 1,3 \percent $

I åttisonen ligger gjennomsnittsfarten drøye en prosent over fartsgrensen.

e)

I femtisonen er det flere som kjører for fort. De fleste av disse kjører bare "litt" for fort. I åttisonen er det ikke så mange som kjørere for fort, men fem av disse kjører mye for fort.

Oppgave 5

a)

$(40-32) \cdot 0,66 + 21,75 = 27 cm$

b)

1) 20 er minste størrelse. (x-20) blir antall størrelser over minste størrelse. En størrelse opp øker skoens lengde med 0,5 cm. $(x-20) \cdot 0,5$ blir da lengden over minstelengden. Når man plusser på 21,5 finner man lengden y til skostørrelse x.

2)

$y_{norsk} = (x-32) \cdot 0,66 + 21,75$ Centimeter

c)

Størrelse 43 i norske sko gir skolengde:

$(x-32) \cdot 0,66 +21,75 = 29$cm

I kinesisk skostørrelse tilsvarer det

$29 = (x-20) \cdot 0.5 + 21,5 \\ x = 35$

Norsk størrelse 43 tilsvarer kinesisk størrelse 35.

d)

Norsk størrelse	Kinesisk størrelse
32	20,5
43	35
46	39

Oppgave 6

a)

$29 = 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 2^4 + 2^3 +2^2 + 2^0$

b)

$1 + 0+ 4 + 8 + 16 \\ 25 + 0 + 100 + 200 + 400 = 725 $

c)

Den kan brukes fordi "hoppet" fra en toerpotens til den neste er en dobling.

Oppgave 7

a)

1)

Fra figuren nedenfor ser man at $f(x) = 0,52 \cdot x^{3,0}$ er en god modell for sammenhengen mellom diameter og volum til kulene.

2)

b)

Fra figuren over ser man at diameteren er 12,4 cm. når volumet er 1000ml.

c)

$V = \frac 43 \pi r^3 \\ Diameter \quad = x \\ r = \frac x2 \\ V = \frac 43 \pi ( \frac x2)^3 \\ V = \frac{4 \cdot \pi}{3 \cdot 8}x^3 \\ V = 0,52x^3 $

Dette er i samsvar med modellen i a.