Trigonometri: Forskjell mellom sideversjoner
Ingen redigeringsforklaring |
|||
(109 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist) | |||
Linje 1: | Linje 1: | ||
Trigonometri kan blant annet brukes til å finne vinkler i [[trekanter]] og lengen av sidekanter i trekanter. De [[trogonometriske funksjoner|trigonometriske funksjonene]] vi skal befatte oss med her er tangens, sinus og cosinus. På lommeregnere vil disse funksjonene være merket tan, sin og cos. Vi får også bruk for de omvendte funksjonene. Disse er merket <math>tan^{-1}</math>, <math>sin^{-1}</math>, og <math>cos^{-1}</math>, . | |||
== Formlikhet == | |||
En trekant er formlik med en annen trekant dersom vinklene i begge trekantene er like store. Dersom man skal påvise at to trekanter er formlike må ett av disse kravene være oppfylt: | |||
= | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
1. To vinkler er parvis like store.<br> | |||
2. Forholdet mellom to og to sider er like store, og vinkelen mellom de to sidene er den samme i begge trekanter.<br> | |||
3. Forholdet mellom tre par sider er like store.<br> | |||
</blockquote> | |||
[[Bilde:formlik.png]] | [[Bilde:formlik.png]] | ||
I denne figuren er rød trekant formlik blå trekant fordi linjene l og m er parallelle og fordi vinkel C og c er toppvinkler. Vinkel A = a, B = b og C =c. Vi har følgende forhold mellom lengdene på sidekantene i trekantene: | |||
<math> \frac{x}{y}= \frac{x'}{y'}= </math> eller<br> | |||
<math> \frac{z'}{x'}= \frac{z}{x}= </math><br> | |||
Uttrykkene over kalles for proporsjoner og leses "Forholdet mellom to sider i den ene trekanten er lik forholdet mellom tilsvarende sider i den andre trekanten". Dette gjelder bare når trekantene er formlike. | Uttrykkene over kalles for proporsjoner og leses "Forholdet mellom to sider i den ene trekanten er lik forholdet mellom tilsvarende sider i den andre trekanten". Dette gjelder bare når trekantene er formlike. | ||
== | |||
For å påvise at to figurer er formlike ser man vanligvis etter følgende: | |||
* Felles vinkler | |||
* 90 grades vinkler | |||
* Toppvinkler | |||
*Samsvarende vinkler | |||
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8E4%2B8E3%2B8E2%2B8E1%2B8E0%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | |||
== Rettvinklet trekant == | |||
Linje 28: | Linje 47: | ||
Tangens til den spisse vinkel defineres som forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet til vinkelen x. | Tangens til den spisse vinkel defineres som forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet til vinkelen x. | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | |||
<math> Tan x = \frac{b}{a}</math> </blockquote> | |||
[[Bilde:trig3.png]]<br><br> | |||
Eksempel 1: | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
'''Eksempel 1:'''<br> | |||
La oss tenke oss en rettvinklet trekant der den ene vinkelen er 30 og hosliggende katet er 5 enheter. Vi kan da bruke tangensfunksjonen til å finne lengden av det andre katetet. | La oss tenke oss en rettvinklet trekant der den ene vinkelen er 30 og hosliggende katet er 5 enheter. Vi kan da bruke tangensfunksjonen til å finne lengden av det andre katetet. | ||
Linje 39: | Linje 61: | ||
[[Bilde:tretan1.png]]<br><br> | [[Bilde:tretan1.png]]<br><br> | ||
<math> tan 30^\circ = \frac{a}{5}\Rightarrow a = 5tan 30^\circ = 5 \cdot 0,58 = 2,9 </math> | |||
<br> | |||
Lengden av a blir da; a = 2,9 enheter | |||
</blockquote> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
'''Eksempel 2:'''<br> | |||
Eksempel 2: | |||
Dersom vi kjenner lengden av begge katetene kan tangens brukes til å finne vinklene i trekanten. | Dersom vi kjenner lengden av begge katetene kan tangens brukes til å finne vinklene i trekanten. | ||
[[Bilde:tretan2.png]]<br><br> | [[Bilde:tretan2.png]]<br><br> | ||
<math> tan x = \frac{4}{5}=0,8 \Rightarrow x = tan^{-1}(0,8) =38,7^\circ </math> | |||
</blockquote> | |||
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8BF%2B8C0%2B8C1%2B8C2%2B8C3%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | |||
== Sinus == | == Sinus == | ||
Linje 53: | Linje 85: | ||
Sinus til vinkelen x defineres som forholdet mellom motstående katet til x og hypotenusen. | Sinus til vinkelen x defineres som forholdet mellom motstående katet til x og hypotenusen. | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | |||
<math> Sin x = \frac{b}{c}</math><br> </blockquote> | |||
Linje 58: | Linje 92: | ||
[[Bilde:trig3sin.png]]<br><br> | [[Bilde:trig3sin.png]]<br><br> | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
'''Eksempel 1:''' | |||
<br> | |||
[[Bilde:tresin1.png]]<br><br> | [[Bilde:tresin1.png]]<br><br> | ||
Dersom vi kjenner hypotenusen og motstående katet til vinkel x, finner vi vinkel x slik:<br> | |||
<math> sin x = \frac{5}{10}\Rightarrow x = Sin^{-1}(0,5) = 30^\circ </math><br> | |||
</blockquote> | |||
Eksempel 2: | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
''' Eksempel 2:'''<br> | |||
[[Bilde:tresin2.png]]<br><br> | [[Bilde:tresin2.png]]<br><br> | ||
<math> sin 45^\circ = \frac{5}{x}\Rightarrow x \cdot sin45 ^\circ = 5 \Rightarrow | |||
x= \frac{5}{sin45 ^\circ}</math> | |||
Lengden til hypotenusen er 7,1 enheter. | Lengden til hypotenusen er 7,1 enheter. | ||
</blockquote> | |||
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8C4%2B8C5%2B8C6%2B8C7%2B8C8%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | |||
== Cosinus == | |||
Cosinus til vinkelen x defineres som forholdet mellom hosliggende katet og hypotenusen. | |||
[[Bilde:trig3cos.png]]<br><br> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | |||
<math> Cos x = \frac{a}{c} </math> </blockquote> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
'''Eksempel 1:''' | |||
<br> | |||
[[Bilde:trecos1.png]]<br><br> | [[Bilde:trecos1.png]]<br><br> | ||
Finn vinkel x: <br> | |||
<math> Cos x = \frac{7}{9}\Rightarrow x = Cos^{-1}(\frac{7}{9}) \Rightarrow x= 38,9^\circ </math> | |||
</blockquote> | |||
Eksempel 2: | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
'''Eksempel 2:'''<br> | |||
Finn lengden av katetet x: | Finn lengden av katetet x: | ||
Linje 99: | Linje 145: | ||
[[Bilde:trecos2.png]]<br><br> | [[Bilde:trecos2.png]]<br><br> | ||
<math> Cos 60^\circ = \frac{x}{10}\Rightarrow x = 10 \cdot Cos 60^\circ \Rightarrow x=10 \cdot 0,5 = 5 </math> | |||
Lengden til katetet x er 5 enheter. | Lengden til katetet x er 5 enheter. | ||
</blockquote> | |||
Vi har så langt sett på definisjoner for de trigonometriske funksjonene når vinkelen er mindre enn 90 grader. Vi har behov for å definere de trigonometriske funksjonene for vinkler større enn 90º og for vinkler mindre enn 0º. | |||
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8C9%2B8CA%2B8CB%2B8CC%2B8CD%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | |||
== Enhetssirkelen == | |||
For å kunne definere de trigonometriske funksjonene for vinkler større enn 90 grader introduserer vi enhetssirkelen. Enhetssirkelen har sentrum i origo og radius en. | |||
[[Bilde:Enhetssirkel1.png]]<br> | |||
Man definerer cosinus til vinkelen v som x-koordinaten og sinus til v som y-koordinaten. | |||
*[https://www.geogebra.org/m/kej2z7zk Animasjon enhetssirkelen] | |||
== Sinus [0,180] == | |||
To vinkler som til sammen blir 180 grader kalles supplementvinkler. På grunn av symmetri om y-aksen har man at | |||
[[Bilde:Enhetssirkel2.png]]<br> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | |||
Sin u = Sin(180 - v) = Sin v </blockquote> | |||
Sinus til en vinkel i 1. og 2. kvadrant er en positiv verdi. | |||
Dersom vinkelen ligger i 3. eller 4. kvadrant er sinus negativ. | |||
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8D6%2B8D7%2B8D8%2B8D9%2B8DA%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | |||
==Cosinus [0,180]== | |||
[[Bilde:Enhetssirkel3.png]] | |||
Cosinus er positiv i første kvadrant, for vinkler opp til 90 grader. I andre kvadrant er cosinus negativ. | |||
Dersom vinklene u og v er supplementvinkler er: | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | |||
Cos u = cos (180 - v) = - cos v </blockquote> | |||
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8DB%2B8DC%2B8DD%2B8DE%2B8DF%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | |||
== arealsetningen == | |||
[[Bilde:costre.gif]]<br> | |||
Når sidene i en trekant har lengden b og c, og vinkelen mellom dem er A, Så er arealet T av trekanten gitt ved: | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | |||
<math> T= \frac12bc \cdot SinA </math> <br>eller<br> | |||
<math> T= \frac12ac \cdot SinB </math> <br>eller<br> | |||
<math> T= \frac12ab \cdot SinC </math><br> | |||
For å finne arealet i en vilkårlig trekant trenger man to sider og vinkelen mellom dem. | |||
</blockquote> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
'''Eksempel :''' <br> | |||
[[Bilde:Trekan areal.PNG]]<br><br> | |||
<br> | |||
<math> T= \frac12bc \cdot SinA = \frac12 \cdot 12cm \cdot 6cm \cdot Sin32 = 19 cm^2 </math> | |||
</blockquote> | |||
= | [http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8CE%2B8CF%2B8D0%2B8D1%2B8D2%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | ||
== sinussetningen == | == sinussetningen == | ||
Linje 188: | Linje 238: | ||
[[Bilde:costre.gif]]<br> | [[Bilde:costre.gif]]<br> | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | |||
<math> \frac{SinA}{a} =\frac{SinB}{b} = \frac{SinC}{c}</math><br> eller<br> | |||
<math> \frac{a}{SinA} =\frac{b}{SinB} = \frac{c}{SinC}</math> | |||
</blockquote> | |||
Man kan bruke setningen for å finne en side, dersom man kjenner to vinkler og en side, | |||
eller, | |||
for å finne en vinkel, dersom man kjenner to sider og en vinkel. | |||
== | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
'''Eksempel :''' | |||
<br> I trekanten ABC er vinkel A 60, AC er 10cm. BC er 9 cm. En figur av trekanten kan se slik ut.<br> | |||
[[Bilde:sinsetn1.PNG]]<br> | |||
<math> \frac{Sin60}{9} =\frac{SinB}{10}\Rightarrow Sin B = 0,962</math><br><br> | |||
Ved å trykke på kalkulatoren får man <math> Sin^{-1}(0,962) = 74,2^\circ</math><br> | |||
Her må man passe på, fordi det er to løsninger. Vinkel B kan være stomp med verdien | |||
<math> B = 180^\circ - 74,2^\circ = 105,8^\circ</math><br><br> | |||
Ved bruk av sinussetningen må man alltid sjekke om det kan være to mulige løsninger. I dette tilfelle kan det se slik ut: | |||
<br>[[Bilde:sinsetn2.PNG]]<br> | |||
</blockquote> | |||
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8D3%2B8D4%2B8D5%2B8EA%2B8EB%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | |||
==Cosinussetningen== | |||
{{:Cosinussetningen}} | |||
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8E5%2B8E6%2B8E7%2B8E8%2B8E9%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | |||
[[Kategori:Geometri]][[Kategori:1T]] | [[Kategori:Geometri]] | ||
[[Kategori:1T]][[Kategori:Ped]] |
Siste sideversjon per 29. mar. 2020 kl. 06:03
Trigonometri kan blant annet brukes til å finne vinkler i trekanter og lengen av sidekanter i trekanter. De trigonometriske funksjonene vi skal befatte oss med her er tangens, sinus og cosinus. På lommeregnere vil disse funksjonene være merket tan, sin og cos. Vi får også bruk for de omvendte funksjonene. Disse er merket <math>tan^{-1}</math>, <math>sin^{-1}</math>, og <math>cos^{-1}</math>, .
Formlikhet
En trekant er formlik med en annen trekant dersom vinklene i begge trekantene er like store. Dersom man skal påvise at to trekanter er formlike må ett av disse kravene være oppfylt:
1. To vinkler er parvis like store.
2. Forholdet mellom to og to sider er like store, og vinkelen mellom de to sidene er den samme i begge trekanter.
3. Forholdet mellom tre par sider er like store.
I denne figuren er rød trekant formlik blå trekant fordi linjene l og m er parallelle og fordi vinkel C og c er toppvinkler. Vinkel A = a, B = b og C =c. Vi har følgende forhold mellom lengdene på sidekantene i trekantene:
<math> \frac{x}{y}= \frac{x'}{y'}= </math> eller
<math> \frac{z'}{x'}= \frac{z}{x}= </math>
Uttrykkene over kalles for proporsjoner og leses "Forholdet mellom to sider i den ene trekanten er lik forholdet mellom tilsvarende sider i den andre trekanten". Dette gjelder bare når trekantene er formlike.
For å påvise at to figurer er formlike ser man vanligvis etter følgende:
- Felles vinkler
- 90 grades vinkler
- Toppvinkler
- Samsvarende vinkler
Rettvinklet trekant
En rettvinklet trekant består av to kateter og en hypotenus. Vi kaller det katetet som sammen med hypotenusen danner den aktuelle vinkelen i trekanten for "hosliggende katet". Det andre katetet blir "motstående katet".
I en rettvinklet trekant, for vinkler mindre enn 90 grader, gjelder:
Tangens
Tangens til den spisse vinkel defineres som forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet til vinkelen x.
<math> Tan x = \frac{b}{a}</math>
Eksempel 1:
La oss tenke oss en rettvinklet trekant der den ene vinkelen er 30 og hosliggende katet er 5 enheter. Vi kan da bruke tangensfunksjonen til å finne lengden av det andre katetet.
<math> tan 30^\circ = \frac{a}{5}\Rightarrow a = 5tan 30^\circ = 5 \cdot 0,58 = 2,9 </math>
Lengden av a blir da; a = 2,9 enheter
Eksempel 2:
Dersom vi kjenner lengden av begge katetene kan tangens brukes til å finne vinklene i trekanten.
<math> tan x = \frac{4}{5}=0,8 \Rightarrow x = tan^{-1}(0,8) =38,7^\circ </math>
Sinus
Sinus til vinkelen x defineres som forholdet mellom motstående katet til x og hypotenusen.
<math> Sin x = \frac{b}{c}</math>
Eksempel 1:
Dersom vi kjenner hypotenusen og motstående katet til vinkel x, finner vi vinkel x slik:
<math> sin x = \frac{5}{10}\Rightarrow x = Sin^{-1}(0,5) = 30^\circ </math>
<math> sin 45^\circ = \frac{5}{x}\Rightarrow x \cdot sin45 ^\circ = 5 \Rightarrow x= \frac{5}{sin45 ^\circ}</math>
Lengden til hypotenusen er 7,1 enheter.
Cosinus
Cosinus til vinkelen x defineres som forholdet mellom hosliggende katet og hypotenusen.
<math> Cos x = \frac{a}{c} </math>
Eksempel 1:
Finn vinkel x:
<math> Cos x = \frac{7}{9}\Rightarrow x = Cos^{-1}(\frac{7}{9}) \Rightarrow x= 38,9^\circ </math>
Eksempel 2:
Finn lengden av katetet x:
<math> Cos 60^\circ = \frac{x}{10}\Rightarrow x = 10 \cdot Cos 60^\circ \Rightarrow x=10 \cdot 0,5 = 5 </math>
Lengden til katetet x er 5 enheter.
Vi har så langt sett på definisjoner for de trigonometriske funksjonene når vinkelen er mindre enn 90 grader. Vi har behov for å definere de trigonometriske funksjonene for vinkler større enn 90º og for vinkler mindre enn 0º.
Enhetssirkelen
For å kunne definere de trigonometriske funksjonene for vinkler større enn 90 grader introduserer vi enhetssirkelen. Enhetssirkelen har sentrum i origo og radius en.
Man definerer cosinus til vinkelen v som x-koordinaten og sinus til v som y-koordinaten.
Sinus [0,180]
To vinkler som til sammen blir 180 grader kalles supplementvinkler. På grunn av symmetri om y-aksen har man at
Sin u = Sin(180 - v) = Sin v
Sinus til en vinkel i 1. og 2. kvadrant er en positiv verdi.
Dersom vinkelen ligger i 3. eller 4. kvadrant er sinus negativ.
Cosinus [0,180]
Cosinus er positiv i første kvadrant, for vinkler opp til 90 grader. I andre kvadrant er cosinus negativ.
Dersom vinklene u og v er supplementvinkler er:
Cos u = cos (180 - v) = - cos v
arealsetningen
Når sidene i en trekant har lengden b og c, og vinkelen mellom dem er A, Så er arealet T av trekanten gitt ved:
<math> T= \frac12bc \cdot SinA </math>
eller
<math> T= \frac12ac \cdot SinB </math>
eller
<math> T= \frac12ab \cdot SinC </math>
For å finne arealet i en vilkårlig trekant trenger man to sider og vinkelen mellom dem.
Eksempel :
<math> T= \frac12bc \cdot SinA = \frac12 \cdot 12cm \cdot 6cm \cdot Sin32 = 19 cm^2 </math>
sinussetningen
I en trekant med vinkler A, B og C og sider a, b og c er følgende forhold gitt:
<math> \frac{SinA}{a} =\frac{SinB}{b} = \frac{SinC}{c}</math>
eller
<math> \frac{a}{SinA} =\frac{b}{SinB} = \frac{c}{SinC}</math>
Man kan bruke setningen for å finne en side, dersom man kjenner to vinkler og en side, eller, for å finne en vinkel, dersom man kjenner to sider og en vinkel.
Eksempel :
I trekanten ABC er vinkel A 60, AC er 10cm. BC er 9 cm. En figur av trekanten kan se slik ut.
<math> \frac{Sin60}{9} =\frac{SinB}{10}\Rightarrow Sin B = 0,962</math>
Ved å trykke på kalkulatoren får man <math> Sin^{-1}(0,962) = 74,2^\circ</math>
Her må man passe på, fordi det er to løsninger. Vinkel B kan være stomp med verdien <math> B = 180^\circ - 74,2^\circ = 105,8^\circ</math>
Ved bruk av sinussetningen må man alltid sjekke om det kan være to mulige løsninger. I dette tilfelle kan det se slik ut:
Cosinussetningen
I en trekant med vinkler A, B og C og sider a, b og c (a motstående til A osv.) er
<math>a^2 =b^2+ c^2 - 2bc \cdot cosA </math>
eller
<math>b^2 =a^2+ c^2 - 2ac \cdot cosB </math>
eller
<math>c^2 =a^2+ b^2 - 2ab \cdot cosC </math>
Setningen kalles også den utvidede pytagoreiske læresetning.
Dersom man kjenner alle tre sidene i en trekant kan man bruke cosinussetningen til å finne vinklene. Man kan også bruke cosinussetningen til å finne en side, dersom man kjenner to sider og motstående vinkel til den ukjente siden.
Eksempel :
En trekant har sider med lengde 4,3 og 2. Hva er vinklene i trekanten? Trekanten kan se slik ut:
<math>a^2 =b^2+ c^2 - 2bc \cdot cosA \Rightarrow Cos A = \frac{a^2 -b^2- c^2}{-2bc} = \frac{4-9-16}{-2\cdot 3 \cdot 4}= \frac{21}{24}\Rightarrow A = 29 ^\circ</math>
<math>b^2 =a^2+ c^2 - 2ac \cdot cosB \Rightarrow Cos B = \frac{b^2 -a^2- c^2}{-2ac} = \frac{9-4-16}{-2\cdot 2 \cdot 4}= \frac{11}{16}\Rightarrow B = 46,6 ^\circ</math>