Bokstavuttrykk

Innledning

Algebra, eller bokstavregning, viser generelle sammenhenger. Tallregning eller aritmetikk gir oss mer spesielle sammenhenger.
Eksempel: En sirkel har radius 10 cm. Hva er arealet av sirkelen?
Arealet blir:
<math>A = 10cm \cdot 10cm \cdot {\pi} =314,2 cm^2.</math>
Men, det gjelder bare når radius i sirkelen er 10 cm. For alle andre radier er dette arealet feil.

Et areal som gjelder for en sirkel, uansett radius:
<math>A = {\pi}r^2</math>
Man kan sette inn den verdi man ønsker for radien r og derved få arealet A for en hvilket som helst radius.
Bokstaver gir en formel som er allmenngyldig mens aritmetikken (tallregning)fokuserer på en eller flere spesielle tallverdier.

Ledd

Se på uttrykket <math>a + b + 4</math>

Uttrykket består av tre ledd

Et ledd er en verdi i et regnestykke som er adskilt fra resten med et pluss eller minus.De tre leddene er a,b og 4

<math>10a^2 + 2b + 2 \cdot 2</math>
er også et uttrykk som består av tre ledd der hvert av leddene er produkter av to eller flere faktorer.

Produkt

Av og til skrives ikke multiplikasjonstegnet mellom faktorene; a•b skrive ofte som ab og g•(h+f) skrives gjerne som g(h+f). Selv om man ikke skriver multiplikasjonstegnet er det der allikevel.

Når man regner med tall og parenteser har man muligheten til å trekke sammen parentesene før man løser de opp, i algebra er denne muligheten begrenset da man ikke uten videre kan trekke sammen for eksempel a + b. Før du går løs på regning med bokstaver er det derfor viktig at du kjenner reglene for regning med parenteser.

Alle regneregler du kjenner fra tallregning gjelder også for algebra. La oss se på noen regler:

Regneregler

Kommutativ lov:

<math>a + b = b + a </math>

Assosiativ lov:

<math>(a + b) + c = a + (b + c)</math>

Kommutativ lov:

<math>a \cdot b = b \cdot a </math>

<math>a + a = 2a </math>

Test deg selv

Kvadratsetningene

De neste tre setningen kalles for kvadratsetningene.

Første kvadratsetning

<math>(a+b)^2 = (a+b)(a+b)= a^2+2ab+b^2 </math>

Eksempel:

<math>(3x+y)^2 = (3x+y)(3x+y)= 9x^2 + 6xy + y^2 </math>

Det er nyttig å kunne regne ut kvadratet på denne måten når du skal forenkle utrykke ved å trekke sammen ledd. Man må også beherske kvadratsetningene andre veien, det er nødvendig ved forkorting av brøker. For å kunne forkorte et utrykk må det være på faktorform. Dette krever litt trening i å "se" hva produktet blir.

Eksempel:

<math> 16a^2 + 24ab + 3b = (4a + 3b)^2</math>

Test deg selv

Andre kvadratsetning

<math>(a - b)^2 = (a - b)(a-b)= a^2-2ab+b^2 </math>

Eksempel:

<math>(3x-y)^2 = (3x-y)(3x-y)= 9x^2 - 6xy + y^2 </math>

Det er nyttig å kunne regne ut kvadratet på denne måten når du skal forenkle utrykke ved å trekke sammen ledd. Man må også beherske kvadratsetningene andre veien, det er nødvendig ved forkorting av brøker. For å kunne forkorte et utrykk må det være på faktorform. Dette krever litt trening i å "se" hva produktet blir.

Eksempel:

<math> 16a^2 - 24ab + 9b^2 = (4a - 3b)^2</math>

Test deg selv

Konjugatsetningen

<math>(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 </math>

<math>(5 + 2x)(5 - 2x) = 5^2 - 10x + 10x - 4x^2 = 25-4x^2 </math>

<math>9x^2 - 36y^2 = (3x+6y)(3x-6y) </math>

Test deg selv

Forkorting av brøkuttrykk

Eksempel:
<math> \frac {a^2}{ab}=\frac {a \cdot a }{a \cdot b} = \frac ab</math>

<math> \frac {a^2}{a^3}</math>

<math> \frac {b}{b}</math>

<math> \frac {(x+2)(x-2)}{(x+2)x}= \frac {(x+2)(x-2)}{(x+2)x}=</math>

<math> \frac {x^2 - 6x + 9}{2x^2 - 18}= \frac {(x-3)^2}{2(x+3)(x-3)}=</math>