Minste felles multiplum og største felles divisor

Definisjon

La <math>a</math> og <math>b</math> være heltall. Da finnes det heltall <math>r,s</math> slik at

<math>ar=bs</math>

og verdien av <math>ar</math> og <math>bs</math> kalles da et felles multiplum av <math>a</math> og <math>b</math>. Det minste felles multiplumet til <math>a</math> og <math>b</math> er det minste slike multiplumet og noteres ved <math>\text{lcm}(a,b)</math> (Les: Least common multiple).

Det finnes også et heltall <math>t</math> slik at <math>t</math> deler både <math>a</math> og <math>b</math>. Det største slike tallet <math>t</math> kalles den største felles divisoren til <math>a</math> og <math>b</math> og noteres ved <math>\gcd(a,b)</math> (Les: Greatest common divisor).

Sammenheng med primtallsfaktorisering

La <math>a</math> og <math>b</math> ha primtallsfaktoriseringer gitt ved <math>a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_n^{a_n}</math> og <math>b=p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_n^{b_n}</math>, der <math>a_i,b_i=0,1,2,\,...</math>. La så <math>M_i=\max(a_i,b_i)</math> og <math>m_i=\min(a_i,b_i)</math>.

Da er

<math>\text{lcm}(a,b)=p_1^{M_1}p_2^{M_2}...p_n^{M_n}</math>

og

<math>\gcd(a,b)=p_1^{m_1}p_2^{m_2}...p_n^{m_n}</math>

Fra denne sammenhengen, og at <math>M_i+m_i=a_i+b_i</math> er det rett frem å vise at

<math>\gcd(a,b)\cdot \text{lcm}(a,b) = a\cdot b</math>

Euklids algoritme

Dersom <math>a, b, r</math> er heltall, gjelder <math>\gcd(a,b)=\gcd(a-rb,b)</math>, fordi alle faktorer som deler <math>b</math>, også deler <math>rb</math>.

Ettersom vi kan finne heltall <math>c</math> og <math>k_0</math> slik at <math>a=bc+k_0</math> og <math>0\leq d < |b|</math>, har vi dermed at

<math>gcd(a,b)=gcd(b,k_0)</math>.

Ettersom vi også har <math>b=t_0 k_0 + k_1</math> for heltall <math>t_0,k_</math> får vi at

<math>gcd(a,b)=gcd(b,k_0)=gcd(k_0,k_1)</math> og så videre.

Dette er euklids algoritme. Hvis vi fortsetter denne prosessen, vil vi etter et endelig antall (<math>N</math>) steg komme til et punkt der <math>k_{N-1}=t*k_{N}</math>, og vi får da at

<math>\gcd(a,b)=\gcd(k_{N-1},k_N)=\gcd(t\cdot k_N,k_N)=k_N</math>

---