Geometriske rekker: Forskjell mellom sideversjoner
m Teksterstatting – «<tex>» til «<math>» |
|||
| (2 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist) | |||
| Linje 1: | Linje 1: | ||
==Geometrisk progresjon== | ==Geometrisk progresjon== | ||
En geometrisk progresjon <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</ | En geometrisk progresjon <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> er en tallfølge der hvert tall er et konstant multippel av det forrige, dvs <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=k</math>. | ||
Slike tallfølger kan skrives på formen <math>a_n=a_1k^{n-1}</ | Slike tallfølger kan skrives på formen <math>a_n=a_1k^{n-1}</math> | ||
| Linje 12: | Linje 12: | ||
En geometrisk rekke er summen av elementene i en geometrisk progresjon. | En geometrisk rekke er summen av elementene i en geometrisk progresjon. | ||
For geometriske rekker <math>a_n=a_1k^{n-1}</ | For geometriske rekker <math>a_n=a_1k^{n-1}</math> er <math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1\frac{k^n-1}{k-1}</math> | ||
===Bevis for summeformel=== | ===Bevis for summeformel=== | ||
Betrakt tallet <math>(k-1)(1+k+k^2+k^3+ \ldots +k^n)</ | Betrakt tallet <math>(k-1)(1+k+k^2+k^3+ \ldots +k^n)</math>. Ganger vi ut parentesene, får vi <math>(k+k^2+k^3+ \ldots + k^{n+1})-(1+k+k^2+k^3+ \ldots + k^n) = k^{n+1}-1</math>. Men dersom | ||
<math>(k-1)(1+k+k^2+ \ldots + k^n) = k^{n+1}-1</ | <math>(k-1)(1+k+k^2+ \ldots + k^n) = k^{n+1}-1</math> | ||
kan vi dele med faktoren <math>(k-1)</ | kan vi dele med faktoren <math>(k-1)</math> på begge sider og få | ||
<math>\sum_{i=0}^{n}k^i = 1+k+k^2+ \ldots + k^n = \frac{k^{n+1}-1}{k-1} </ | <math>\sum_{i=0}^{n}k^i = 1+k+k^2+ \ldots + k^n = \frac{k^{n+1}-1}{k-1} </math> | ||
Multipliserer vi så med <math>a_1</ | Multipliserer vi så med <math>a_1</math> på begge sider, vil vi oppnå summeformelen, og beviset er ferdig. | ||
==Uendelige geometriske rekker== | ==Uendelige geometriske rekker== | ||
Dersom | Dersom $-1<k<1$ i en geometrisk tallfølge $a_n=a_1k^{n-1}$ sier vi at den konvergerer. Det vil si at summen av uendelig mange etterfølgende elementer i følgen har en endelig verdi. | ||
I slike tilfeller er | I slike tilfeller er $\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i=\frac{a_1}{1-k}$ | ||
Siste sideversjon per 23. mar. 2019 kl. 20:18
Geometrisk progresjon
En geometrisk progresjon <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> er en tallfølge der hvert tall er et konstant multippel av det forrige, dvs <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=k</math>.
Slike tallfølger kan skrives på formen <math>a_n=a_1k^{n-1}</math>
Geometrisk rekke
En geometrisk rekke er summen av elementene i en geometrisk progresjon.
For geometriske rekker <math>a_n=a_1k^{n-1}</math> er <math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1\frac{k^n-1}{k-1}</math>
Bevis for summeformel
Betrakt tallet <math>(k-1)(1+k+k^2+k^3+ \ldots +k^n)</math>. Ganger vi ut parentesene, får vi <math>(k+k^2+k^3+ \ldots + k^{n+1})-(1+k+k^2+k^3+ \ldots + k^n) = k^{n+1}-1</math>. Men dersom
<math>(k-1)(1+k+k^2+ \ldots + k^n) = k^{n+1}-1</math>
kan vi dele med faktoren <math>(k-1)</math> på begge sider og få
<math>\sum_{i=0}^{n}k^i = 1+k+k^2+ \ldots + k^n = \frac{k^{n+1}-1}{k-1} </math>
Multipliserer vi så med <math>a_1</math> på begge sider, vil vi oppnå summeformelen, og beviset er ferdig.
Uendelige geometriske rekker
Dersom $-1<k<1$ i en geometrisk tallfølge $a_n=a_1k^{n-1}$ sier vi at den konvergerer. Det vil si at summen av uendelig mange etterfølgende elementer i følgen har en endelig verdi.
I slike tilfeller er $\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i=\frac{a_1}{1-k}$