Bokstavuttrykk: Forskjell mellom sideversjoner
m Teksterstatting – «<tex>» til «<math>» |
m Teksterstatting – «</tex>» til «</math>» |
||
Linje 6: | Linje 6: | ||
<br> | <br> | ||
Arealet blir:<br> | Arealet blir:<br> | ||
<math>A = 10cm \cdot 10cm \cdot {\pi} =314,2 cm^2.</ | <math>A = 10cm \cdot 10cm \cdot {\pi} =314,2 cm^2.</math> | ||
<br> | <br> | ||
Men, det gjelder bare når radius i sirkelen er 10 cm. For alle andre radier er dette arealet feil. | Men, det gjelder bare når radius i sirkelen er 10 cm. For alle andre radier er dette arealet feil. | ||
Linje 12: | Linje 12: | ||
Et areal som gjelder for en sirkel, uansett radius:<br> | Et areal som gjelder for en sirkel, uansett radius:<br> | ||
<math>A = {\pi}r^2</ | <math>A = {\pi}r^2</math> | ||
<br> | <br> | ||
Man kan sette inn den verdi man ønsker for radien r og derved få arealet A for en hvilket som helst radius.<br> | Man kan sette inn den verdi man ønsker for radien r og derved få arealet A for en hvilket som helst radius.<br> | ||
Linje 20: | Linje 20: | ||
Se på uttrykket | Se på uttrykket | ||
<math>a + b + 4</ | <math>a + b + 4</math> | ||
Uttrykket består av tre ledd | Uttrykket består av tre ledd | ||
Linje 27: | Linje 27: | ||
Et ledd er en verdi i et regnestykke som er adskilt fra resten med et pluss eller minus.De tre leddene er a,b og 4 | Et ledd er en verdi i et regnestykke som er adskilt fra resten med et pluss eller minus.De tre leddene er a,b og 4 | ||
<math>10a^2 + 2b + 2 \cdot 2</ | <math>10a^2 + 2b + 2 \cdot 2</math><br> | ||
er også et uttrykk som består av tre ledd der hvert av leddene er produkter av to eller flere faktorer. | er også et uttrykk som består av tre ledd der hvert av leddene er produkter av to eller flere faktorer. | ||
Linje 44: | Linje 44: | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
Kommutativ lov:<p></p> | Kommutativ lov:<p></p> | ||
<math>a + b = b + a </ | <math>a + b = b + a </math> | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
Assosiativ lov: <p></p> | Assosiativ lov: <p></p> | ||
<math>(a + b) + c = a + (b + c)</ | <math>(a + b) + c = a + (b + c)</math> | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
Linje 55: | Linje 55: | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
Kommutativ lov:<p></p> | Kommutativ lov:<p></p> | ||
<math>a \cdot b = b \cdot a </ | <math>a \cdot b = b \cdot a </math> | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
Linje 62: | Linje 62: | ||
<math>a + a = 2a </ | <math>a + a = 2a </math> | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
Linje 77: | Linje 77: | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
<math>(a+b)^2 = (a+b)(a+b)= a^2+2ab+b^2 </ | <math>(a+b)^2 = (a+b)(a+b)= a^2+2ab+b^2 </math> | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
Linje 90: | Linje 90: | ||
'''Eksempel:''' <br> | '''Eksempel:''' <br> | ||
<math>(3x+y)^2 = (3x+y)(3x+y)= 9x^2 + 6xy + y^2 </ | <math>(3x+y)^2 = (3x+y)(3x+y)= 9x^2 + 6xy + y^2 </math> | ||
Linje 99: | Linje 99: | ||
'''Eksempel:''' <br> | '''Eksempel:''' <br> | ||
<math> 16a^2 + 24ab + 3b = (4a + 3b)^2</ | <math> 16a^2 + 24ab + 3b = (4a + 3b)^2</math> | ||
Linje 112: | Linje 112: | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
<math>(a - b)^2 = (a - b)(a-b)= a^2-2ab+b^2 </ | <math>(a - b)^2 = (a - b)(a-b)= a^2-2ab+b^2 </math> | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
Linje 124: | Linje 124: | ||
'''Eksempel:''' <br> | '''Eksempel:''' <br> | ||
<math>(3x-y)^2 = (3x-y)(3x-y)= 9x^2 - 6xy + y^2 </ | <math>(3x-y)^2 = (3x-y)(3x-y)= 9x^2 - 6xy + y^2 </math> | ||
Linje 133: | Linje 133: | ||
'''Eksempel:''' <br> | '''Eksempel:''' <br> | ||
<math> 16a^2 - 24ab + 9b^2 = (4a - 3b)^2</ | <math> 16a^2 - 24ab + 9b^2 = (4a - 3b)^2</math> | ||
Linje 144: | Linje 144: | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
<math>(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 </ | <math>(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 </math> | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
Linje 154: | Linje 154: | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
<math>(5 + 2x)(5 - 2x) = 5^2 - 10x + 10x - 4x^2 = 25-4x^2 </ | <math>(5 + 2x)(5 - 2x) = 5^2 - 10x + 10x - 4x^2 = 25-4x^2 </math> | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
Linje 161: | Linje 161: | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
<math>9x^2 - 36y^2 = (3x+6y)(3x-6y) </ | <math>9x^2 - 36y^2 = (3x+6y)(3x-6y) </math> | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
Linje 172: | Linje 172: | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
Eksempel:<br> | Eksempel:<br> | ||
<math> \frac {a^2}{ab}=\frac {a \cdot a }{a \cdot b} = \frac ab</ | <math> \frac {a^2}{ab}=\frac {a \cdot a }{a \cdot b} = \frac ab</math> | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
<math> \frac {a^2}{a^3}</ | <math> \frac {a^2}{a^3}</math> | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
<math> \frac {b}{b}</ | <math> \frac {b}{b}</math> | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
<math> \frac {(x+2)(x-2)}{(x+2)x}= \frac {(x+2)(x-2)}{(x+2)x}=</ | <math> \frac {(x+2)(x-2)}{(x+2)x}= \frac {(x+2)(x-2)}{(x+2)x}=</math> | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
<math> \frac {x^2 - 6x + 9}{2x^2 - 18}= \frac {(x-3)^2}{2(x+3)(x-3)}=</ | <math> \frac {x^2 - 6x + 9}{2x^2 - 18}= \frac {(x-3)^2}{2(x+3)(x-3)}=</math> | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
Siste sideversjon per 5. feb. 2013 kl. 20:58
Innledning
Algebra, eller bokstavregning, viser generelle sammenhenger. Tallregning eller aritmetikk gir oss mer spesielle sammenhenger.
Eksempel:
En sirkel har radius 10 cm. Hva er arealet av sirkelen?
Arealet blir:
<math>A = 10cm \cdot 10cm \cdot {\pi} =314,2 cm^2.</math>
Men, det gjelder bare når radius i sirkelen er 10 cm. For alle andre radier er dette arealet feil.
Et areal som gjelder for en sirkel, uansett radius:
<math>A = {\pi}r^2</math>
Man kan sette inn den verdi man ønsker for radien r og derved få arealet A for en hvilket som helst radius.
Bokstaver gir en formel som er allmenngyldig mens aritmetikken (tallregning)fokuserer på en eller flere spesielle tallverdier.
Ledd
Se på uttrykket <math>a + b + 4</math>
Uttrykket består av tre ledd
Et ledd er en verdi i et regnestykke som er adskilt fra resten med et pluss eller minus.De tre leddene er a,b og 4
<math>10a^2 + 2b + 2 \cdot 2</math>
er også et uttrykk som består av tre ledd der hvert av leddene er produkter av to eller flere faktorer.
Produkt
Av og til skrives ikke multiplikasjonstegnet mellom faktorene; a•b skrive ofte som ab og g•(h+f) skrives gjerne som g(h+f). Selv om man ikke skriver multiplikasjonstegnet er det der allikevel.
Når man regner med tall og parenteser har man muligheten til å trekke sammen parentesene før man løser de opp, i algebra er denne muligheten begrenset da man ikke uten videre kan trekke sammen for eksempel a + b. Før du går løs på regning med bokstaver er det derfor viktig at du kjenner reglene for regning med parenteser.
Alle regneregler du kjenner fra tallregning gjelder også for algebra. La oss se på noen regler:
Regneregler
Kommutativ lov:
<math>a + b = b + a </math>
Assosiativ lov:
<math>(a + b) + c = a + (b + c)</math>
Kommutativ lov:
<math>a \cdot b = b \cdot a </math>
<math>a + a = 2a </math>
Kvadratsetningene
De neste tre setningen kalles for kvadratsetningene.
Første kvadratsetning
<math>(a+b)^2 = (a+b)(a+b)= a^2+2ab+b^2 </math>
Eksempel:
<math>(3x+y)^2 = (3x+y)(3x+y)= 9x^2 + 6xy + y^2 </math>
Det er nyttig å kunne regne ut kvadratet på denne måten når du skal forenkle utrykke ved å trekke sammen ledd. Man må også beherske kvadratsetningene andre veien, det er nødvendig ved forkorting av brøker. For å kunne forkorte et utrykk må det være på faktorform. Dette krever litt trening i å "se" hva produktet blir.
Eksempel:
<math> 16a^2 + 24ab + 3b = (4a + 3b)^2</math>
Andre kvadratsetning
<math>(a - b)^2 = (a - b)(a-b)= a^2-2ab+b^2 </math>
Eksempel:
<math>(3x-y)^2 = (3x-y)(3x-y)= 9x^2 - 6xy + y^2 </math>
Det er nyttig å kunne regne ut kvadratet på denne måten når du skal forenkle utrykke ved å trekke sammen ledd. Man må også beherske kvadratsetningene andre veien, det er nødvendig ved forkorting av brøker. For å kunne forkorte et utrykk må det være på faktorform. Dette krever litt trening i å "se" hva produktet blir.
Eksempel:
<math> 16a^2 - 24ab + 9b^2 = (4a - 3b)^2</math>
Konjugatsetningen
<math>(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 </math>
<math>(5 + 2x)(5 - 2x) = 5^2 - 10x + 10x - 4x^2 = 25-4x^2 </math>
<math>9x^2 - 36y^2 = (3x+6y)(3x-6y) </math>
Forkorting av brøkuttrykk
Eksempel:
<math> \frac {a^2}{ab}=\frac {a \cdot a }{a \cdot b} = \frac ab</math>
<math> \frac {a^2}{a^3}</math>
<math> \frac {b}{b}</math>
<math> \frac {(x+2)(x-2)}{(x+2)x}= \frac {(x+2)(x-2)}{(x+2)x}=</math>
<math> \frac {x^2 - 6x + 9}{2x^2 - 18}= \frac {(x-3)^2}{2(x+3)(x-3)}=</math>