R1 2009 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
 
(28 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist)
Linje 8: Linje 8:


1)<p></p>
1)<p></p>
<tex>f(x) = (x^2+1)^4 \ f'(x)= 4(x^2+1)^3 \cdot 2x = 8x(x^2+1)^3</tex> <p></p>(kjerneregelen)<p></p>
<math>f(x) = (x^2+1)^4 \ f'(x)= 4(x^2+1)^3 \cdot 2x = 8x(x^2+1)^3</math> <p></p>(kjerneregelen)<p></p>
2)<p></p>
2)<p></p>
<tex>g(x) = xe^{2x} \ g'(x)= e^{2x}+xe^{2x} \cdot 2 = e^{2x}(1+2x)</tex><p></p>
<math>g(x) = xe^{2x} \ g'(x)= e^{2x}+xe^{2x} \cdot 2 = e^{2x}(1+2x)</math><p></p>
(produktregelen)
(produktregelen)


== b) ==
== b) ==


<tex>\lim_{x \to 2} \frac{x^2-2x}{x-2} =\lim_{x \to 2} \frac{x(x-2)}{x-2}=\lim_{x \to 2} x=2</tex>
<math>\lim_{x \to 2} \frac{x^2-2x}{x-2} =\lim_{x \to 2} \frac{x(x-2)}{x-2}=\lim_{x \to 2} x=2</math>


== c) ==
== c) ==


<tex> \frac{x-2}{x^2+2x}- \frac{x+2}{x^2-2x}-\frac{4x}{x^2-4} = \ \frac{x-2}{x(x+2)}- \frac{x+2}{x(x-2)} - \frac{4x}{(x+2)(x-2)} = \ \frac{(x-2)(x-2)-(x+2)(x+2)- 4x^2}{x(x+2)(x-2)} = \ \frac{x^2-4x+4-(x^2+4x+4)- 4x^2}{x(x+2)(x-2)} =  \ \frac{- 4x}{(x+2)(x-2)} </tex>
<math> \frac{x-2}{x^2+2x}- \frac{x+2}{x^2-2x}-\frac{4x}{x^2-4} = \ \frac{x-2}{x(x+2)}- \frac{x+2}{x(x-2)} - \frac{4x}{(x+2)(x-2)} = \ \frac{(x-2)(x-2)-(x+2)(x+2)- 4x^2}{x(x+2)(x-2)} = \ \frac{x^2-4x+4-(x^2+4x+4)- 4x^2}{x(x+2)(x-2)} =  \ \frac{- 4x(x+2)}{x(x+2)(x-2)} = \ -\frac{4}{x-2}</math>
 


== d) ==
== d) ==
<tex>  \vec{AB} = [5-(-2), 4-(-1)] = [7,5] \ \vec{AC} = [4-(-2), 7-(-1)]= [6,8] \ \vec{BC} = [4-5, 7-4] =[-1,3] </tex>
<math>  \vec{AB} = [5-(-2), 4-(-1)] = [7,5] \ \vec{AC} = [4-(-2), 7-(-1)]= [6,8] \ \vec{BC} = [4-5, 7-4] =[-1,3] </math>
<p></p>
<p></p>
Dersom to vektorer står vinkelrett på hverandre er skalarproduktet lik null.<p></p>
Dersom to vektorer står vinkelrett på hverandre er skalarproduktet lik null.<p></p>
Linje 29: Linje 28:


== e) ==
== e) ==
1)<tex>f(x)= 2x^3+8x^2+2x-12 \
1)<math>f(x)= 2x^3+8x^2+2x-12 \
f(-1) = 2(1)^3 +8  (1)^2 +2(1)-12 = 2+8+2-12 = 0 \quad</tex><p></p>
f(-1) = 2(1)^3 +8  (1)^2 +2(1)-12 = 2+8+2-12 = 0 \quad</math><p></p>
dvs.f(x) er delelig med (x-1)
dvs.f(x) er delelig med (x-1)


<p></p> <tex>\quad \quad 2x^3+8x^2+2x-12: (x-1) = 2x^2+10x+12 \  -(2x^3 -2x^2) \ \quad \quad\quad\quad \quad\quad \quad 10x^2+2x \ \quad\quad \quad \quad -(10x^2-10x) \ \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad 12x-12\ \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad\quad\quad -(12x-12) \\quad \quad\quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad\quad \quad \quad 0 </tex>
<p></p> <math>\quad \quad 2x^3+8x^2+2x-12: (x-1) = 2x^2+10x+12 \  -(2x^3 -2x^2) \ \quad \quad\quad\quad \quad\quad \quad 10x^2+2x \ \quad\quad \quad \quad -(10x^2-10x) \ \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad 12x-12\ \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad\quad\quad -(12x-12) \\quad \quad\quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad\quad \quad \quad 0 </math>
<p></p>
<p></p>
<p></p>
<p></p>
<tex>2x^2+10x+12 = 0 \ x= \frac {-10 \pm \sqrt{100-96}}{4} = \frac{-10 \pm 2}{4} \ x = -3 \vee x= -2 \ f(x)= 2x^3+8x^2+2x-12 = (x-1)(x+2)(x+3)</tex><p></p>
<math>2x^2+10x+12 = 0 \ x= \frac {-10 \pm \sqrt{100-96}}{4} = \frac{-10 \pm 2}{4} \ x = -3 \vee x= -2 \ f(x)= 2x^3+8x^2+2x-12 = (x-1)(x+2)(x+3)</math><p></p>
2)<p></p>
2)<p></p>
[[Fil:R1-2009-1e.png]]
[[Fil:R1-2009-1e.png]]
<p></p>
<p></p>
<tex>f(x) \leq 0 \ x \in <\leftarrow, -3] \cup [-2,1]</tex>
<math>f(x) \leq 0 \ x \in <\leftarrow, -3] \cup [-2,1]</math>


== f) ==
== f) ==
<tex> lg(\frac{1}{a^2}) + 3lga = lg1 - lga^2+3lga = -2lga+3lga = lga</tex>
<math> lg(\frac{1}{a^2}) + 3lga = lg1 - lga^2+3lga = -2lga+3lga = lga</math>


== Oppgave 2 ==
== Oppgave 2 ==
Linje 50: Linje 49:


== a) ==
== a) ==
<tex>\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup ADC </tex>
<math>\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup ADC </math>
<p></p>
<p></p>
Fordi vinkel A er den samme i begge trekanter og vinkel C (i ABC) er lik vinkel D (i ADC).
Fordi vinkel A er den samme i begge trekanter og vinkel C (i ABC) er lik vinkel D (i ADC).
<p></p>
<p></p>
<tex>\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup BCD </tex>
<math>\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup BCD </math>
<p></p>
<p></p>
Fordi vinkel B er den samme i begge trekanter og vinkel C (i ABC) er lik vinkel D (i BCD).
Fordi vinkel B er den samme i begge trekanter og vinkel C (i ABC) er lik vinkel D (i BCD).


== b) ==
== b) ==
<tex> \frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC} \ (AC)^2 = AD \cdot AB </tex>
<math> \frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC} \ (AC)^2 = AD \cdot AB </math>


<tex> \frac{BC}{AB} = \frac{BD}{BC} \ (BC)^2 = BD \cdot AB</tex>
<math> \frac{BC}{AB} = \frac{BD}{BC} \ (BC)^2 = BD \cdot AB</math>


== c) ==
== c) ==
<tex>  (AC)^2 = AD \cdot AB  \ (BC)^2 = BD \cdot AB \ \text{legger sammen likningene} \  (AC)^2 + (BC)^2 = AB \cdot (AD + DB) \ (AC)^2 + (BC)^2 = (AB)^2</tex>
<math>  (AC)^2 = AD \cdot AB  \ (BC)^2 = BD \cdot AB \ \text{legger sammen likningene} \  (AC)^2 + (BC)^2 = AB \cdot (AD + DB) \ (AC)^2 + (BC)^2 = (AB)^2</math>




Linje 73: Linje 72:


== a) ==
== a) ==
 
[[Fil:Innsrevet-R1 3a.png]]


== b) ==
== b) ==
<tex>(lnx)^2+lnx^2 =3 \ (lnx)^2+2lnx-3=0  \ u = lnx \ u^2+2u-3 =0 \ u = \frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{2} \ u = -3 \quad \vee\quad u = 1 \ lnx=-3 \quad\vee\quad lnx = 1 \x = e^{-3} \quad\vee\quad x = e</tex>
<math>(lnx)^2+lnx^2 =3 \ (lnx)^2+2lnx-3=0  \ u = lnx \ u^2+2u-3 =0 \ u = \frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{2} \ u = -3 \quad \vee\quad u = 1 \ lnx=-3 \quad\vee\quad lnx = 1 \x = e^{-3} \quad\vee\quad x = e</math>


== c) ==
== c) ==
Linje 83: Linje 82:
[[Fil:R1-2009-2c.png]]
[[Fil:R1-2009-2c.png]]
<p></p>
<p></p>
<tex>P(F) = P(A)\cdot P(F|A) + P(B) \cdot P(F|B) = 0,7 \cdot 0,05 + 0,3 \cdot 0,1 = 0,065</tex>
<math>P(F) = P(A)\cdot P(F|A) + P(B) \cdot P(F|B) = 0,7 \cdot 0,05 + 0,3 \cdot 0,1 = 0,065</math>
<p></p>
<p></p>
2)<p></p>
2)<p></p>
<tex>P(A|F) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac {0,7 \cdot 0,05}{0,065} = 0,54</tex>
<math>P(A|F) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac {0,7 \cdot 0,05}{0,065} = 0,54</math>




Linje 96: Linje 95:


== a) ==
== a) ==
<tex>f(x) = -x^3+ax^2+bx-11 \ f'(x) = -3x^2+2ax+b \ f'(x)=0 \Rightarrow  -3-2a+b = 0 \Rightarrow  b = 2a+3 \ f(-1)= -16 \Rightarrow 1+a-b-11 = - 16 \Rightarrow a-b =-6 \
<math>f(x) = -x^3+ax^2+bx-11 \ f'(x) = -3x^2+2ax+b \ f'(x)=0 \Rightarrow  -3-2a+b = 0 \Rightarrow  b = 2a+3 \ f(-1)= -16 \Rightarrow 1+a-b-11 = - 16 \Rightarrow a-b =-6 \
a- (2a+3) = -6 \ a =3 \ b= 2a+3 = 2 \cdot 3 +3 =9 </tex>
a- (2a+3) = -6 \ a =3 \ b= 2a+3 = 2 \cdot 3 +3 =9 </math>


== b) ==
== b) ==
<tex>f(x)= -x^3+3x^2+9x-11 \ f'(x) = -3x^2+6x+9 \ f'(x)=0 \Rightarrow x=-1 \quad \vee \quad x=3 </tex><p></p>
<math>f(x)= -x^3+3x^2+9x-11 \ f'(x) = -3x^2+6x+9 \ f'(x)=0 \Rightarrow x=-1 \quad \vee \quad x=3 </math><p></p>
[[Fil:R1-2009-4b2.png]]<p></p>
[[Fil:R1-2009-4b2.png]]<p></p>
f avtar fra minus uendelig til x = -1 og fra x = 3 til uendelig. f vokser fra x = -1 til x = 3. Bunnpunktet for x=-1 er gitt i oppgaven. Man ser at f i tillegg har et maksimum for x=3.<p></p>
f avtar fra minus uendelig til x = -1 og fra x = 3 til uendelig. f vokser fra x = -1 til x = 3. Bunnpunktet for x=-1 er gitt i oppgaven. Man ser at f i tillegg har et maksimum for x=3.<p></p>
<tex>f(3)= -27+3 \cdot 9 + 9 \cdot 3 - 11 = 16</tex>
<math>f(3)= -27+3 \cdot 9 + 9 \cdot 3 - 11 = 16</math>
<p></p>
<p></p>
Maksimumspunkt: (3,16)
Maksimumspunkt: (3,16)


== c) ==
== c) ==
<tex>f''(x) = -6x+6</tex>
<math>f''(x) = -6x+6</math>
<p></p>
<p></p>
[[Fil:R1-20094c.png]]
[[Fil:R1-20094c.png]]
Linje 115: Linje 114:


== d) ==
== d) ==
<tex>f'(x)=9 \ -3x^2+6x+9 =9 \x(-3x+6)= 0 \ x=0 \vee x=2 \ f(0)=-11 \quad \wedge  f(2)= 11</tex>
<math>f'(x)=9 \ -3x^2+6x+9 =9 \x(-3x+6)= 0 \ x=0 \vee x=2 \ f(0)=-11 \quad \wedge  f(2)= 11</math>
<p></p>
<p></p>
Stigningstall er 9 for begge tangentene. Punktene er henholdsvis (0,-11) og (2,11). Det gir følgende likninger for tangentene:<p></p>
Stigningstall er 9 for begge tangentene. Punktene er henholdsvis (0,-11) og (2,11). Det gir følgende likninger for tangentene:<p></p>
<tex>y =ax+b \ y= 9x+b \ -11 = 9 \cdot 0 +b \quad \vee \quad 11 = 9 \cdot 2 + b \ b= -11 \quad \vee \quad b=-7 \ \Downarrow \ y=9x-11 \quad \vee \quad y=9x-7  </tex>
<math>y =ax+b \ y= 9x+b \ -11 = 9 \cdot 0 +b \quad \vee \quad 11 = 9 \cdot 2 + b \ b= -11 \quad \vee \quad b=-7 \ \Downarrow \ y=9x-11 \quad \vee \quad y=9x-7  </math>


== e) ==
== e) ==
Linje 125: Linje 124:
Figuren viser grafen til f, sammen med de to tangentene fra oppgave d. Man ser at b må ligge mellom -11 og  -7, <-11,-7> for at likningen f(x)= 9x + b skal ha tre løsninger.
Figuren viser grafen til f, sammen med de to tangentene fra oppgave d. Man ser at b må ligge mellom -11 og  -7, <-11,-7> for at likningen f(x)= 9x + b skal ha tre løsninger.


== Alternativ II ==
== a) ==
[[Fil:R1-2009-42a.png]]
== b) ==
f(x)=112(x42x312x2)f(x)=13x312x22xf(x)=x2x2
[[Fil:R1-2009-II.png]]
f(1)=112(1+212)=34f(2)=112(1616124)=4
<p></p>
Koordinater for vendepunktene: (1,34)(2,4)
== c) ==
Rett linje gjennom S og T:<p></p>
y = ax + b<p></p>
a=ΔyΔx==4+342+1=1312<p></p>
Bruker punktet (2, -4) og får:<p></p>
4=13122+by=1312x116
<p></p>
[[Fil:R1-20094II.png]]
<p></p>
Ved inspeksjon (Geogebra) ser man at de to andre skjæringspunktene er (-2,85 , 1,26) og Q = (3,85 , -6,01).
== d) ==
STTQ=4,422,73=1,619
== e) ==
[[Fil:R1-20094IIb.png]]<p></p>
g(x)=12x212<p></p>
Den dobbelderiverte er null for x lik minus en og for x lik en. Negativ mellom minus en og en, ellers positiv.<p></p>
Forholdet blir også her 1,619, det gyllne snitt.


== Oppgave 5 ==
== Oppgave 5 ==
Linje 130: Linje 167:


== a) ==
== a) ==
<tex>\vec{OM_1} = \frac 12 ( \vec{OA}+\vec{OB}) = \frac 12 ( [a,0]+ [b,c]) = \frac 12 [a+b,c] = [\frac{a+b}{2}, \frac c2] </tex>  <p></p>
<math>\vec{OM_1} = \frac 12 ( \vec{OA}+\vec{OB}) = \frac 12 ( [a,0]+ [b,c]) = \frac 12 [a+b,c] = [\frac{a+b}{2}, \frac c2] </math>  <p></p>
<tex>\vec{OM_2} = \frac 12  \vec{OB} = \frac 12  [b,c] = [\frac{b}{2}, \frac c2] </tex>
<math>\vec{OM_2} = \frac 12  \vec{OB} = \frac 12  [b,c] = [\frac{b}{2}, \frac c2] </math>
<p></p>
<p></p>
<tex>\vec{OM_3} = \frac 12  \vec{OA} = \frac 12  [a,0] = [\frac{a}{2}, 0] </tex>
<math>\vec{OM_3} = \frac 12  \vec{OA} = \frac 12  [a,0] = [\frac{a}{2}, 0] </math>


== b) ==
== b) ==
<tex> \vec{OS} </tex> og <tex> \vec{OM_1} </tex> er parallelle vektorer. Det vil derfor finnes et tall x som multiplisert med den ene vektoren vil gi den andre vektoren.<p></p>
<math> \vec{OS} </math> og <math> \vec{OM_1} </math> er parallelle vektorer. Det vil derfor finnes et tall x som multiplisert med den ene vektoren vil gi den andre vektoren.<p></p>
<tex> \vec{AS} </tex> og <tex> \vec{AM_2}</tex> er parallelle og ved å summere OA vektor med en del av AM2vektor vil man ende opp i S.
<math> \vec{AS} </math> og <math> \vec{AM_2}</math> er parallelle og ved å summere OA vektor med en del av AM2vektor vil man ende opp i S.


== c) ==
== c) ==
<tex> \vec{OS} = x \vec{OM_1} \wedge \vec{OS} = \frac{OA} + y \vec{AM_2} \  x \vec{OM_1}=\vec{OA} + y \vec{AM_2} \
<math> \vec{OS} = x \vec{OM_1}\quad \wedge \quad \vec{OS} = \vec{OA} + y \vec{AM_2} \  x \vec{OM_1}=\vec{OA} + y \vec{AM_2} \
x\left[\frac{a+b}{2}\quad , \quad \frac c2 \right] = [a,0] + y \left[ \frac{b}{2}-a \quad , \quad \frac c2 \right]</tex>
x\left[\frac{a+b}{2}\quad , \quad \frac c2 \right] = [a,0] + y \left[ \frac{b}{2}-a \quad , \quad \frac c2 \right] \  x \cdot \frac{a+b}{2} = a + y \cdot \left(\frac b2 - a \right) \quad \wedge \quad x \cdot \frac c2 = y \cdot \frac c2  \x \cdot \frac c2 = y \cdot \frac c2 \Rightarrow x=y \
x \cdot \frac{a+b}{2} = a + x \cdot \left(\frac b2 - a \right)\ x \left( \frac{a+b}{2} - \frac b2 + a \right) =a \ x(a+b-b+2a)=2a \ x = \frac 23\
x=y = \frac 23
</math>


== d) ==
== d) ==
 
OS=23OM1=23[a+b2,c2]=[a+b3,c3]


== e) ==
== e) ==
 
Medianene i en trekant skjærer hverandre i et punkt som deler medianene i forholdet 2:1, regnet fra hjørnene. Dette er i sammsvar med svarene i c og d.


== f) ==
== f) ==
Bracket argument to \\ must be a dimension

Siste sideversjon per 17. apr. 2015 kl. 07:32

Del 1

Oppgave 1

a)

1)

f(x)=(x2+1)4f(x)=4(x2+1)32x=8x(x2+1)3

(kjerneregelen)

2)

g(x)=xe2xg(x)=e2x+xe2x2=e2x(1+2x)

(produktregelen)

b)

limx2x22xx2=limx2x(x2)x2=limx2x=2

c)

x2x2+2xx+2x22x4xx24=x2x(x+2)x+2x(x2)4x(x+2)(x2)=(x2)(x2)(x+2)(x+2)4x2x(x+2)(x2)=x24x+4(x2+4x+4)4x2x(x+2)(x2)=4x(x+2)x(x+2)(x2)=4x2

d)

AB=[5(2),4(1)]=[7,5]AC=[4(2),7(1)]=[6,8]BC=[45,74]=[1,3]

Dersom to vektorer står vinkelrett på hverandre er skalarproduktet lik null.

Det er ikke tilfelle her.

e)

1)<math>f(x)= 2x^3+8x^2+2x-12 \

f(-1) = 2(1)^3 +8 (1)^2 +2(1)-12 = 2+8+2-12 = 0 \quad</math>

dvs.f(x) er delelig med (x-1)

2x3+8x2+2x12:(x1)=2x2+10x+12(2x32x2)10x2+2x(10x210x)12x12(12x12)0

2x2+10x+12=0x=10±100964=10±24x=3x=2f(x)=2x3+8x2+2x12=(x1)(x+2)(x+3)

2)

f(x)0x∈<←,3][2,1]

f)

lg(1a2)+3lga=lg1lga2+3lga=2lga+3lga=lga

Oppgave 2

a)

ABCADC

Fordi vinkel A er den samme i begge trekanter og vinkel C (i ABC) er lik vinkel D (i ADC).

ABCBCD

Fordi vinkel B er den samme i begge trekanter og vinkel C (i ABC) er lik vinkel D (i BCD).

b)

ACAB=ADAC(AC)2=ADAB

BCAB=BDBC(BC)2=BDAB

c)

(AC)2=ADAB(BC)2=BDABlegger sammen likningene(AC)2+(BC)2=AB(AD+DB)(AC)2+(BC)2=(AB)2


Del 2

Oppgave 3

a)

b)

(lnx)2+lnx2=3(lnx)2+2lnx3=0u=lnxu2+2u3=0u=2±4+122u=3u=1lnx=3lnx=1x=e3x=e

c)

1)

P(F)=P(A)P(F|A)+P(B)P(F|B)=0,70,05+0,30,1=0,065

2)

P(A|F)=P(AB)P(B)=0,70,050,065=0,54


Oppgave 4

Alternativ I

a)

f(x)=x3+ax2+bx11f(x)=3x2+2ax+bf(x)=032a+b=0b=2a+3f(1)=161+ab11=16ab=6a(2a+3)=6a=3b=2a+3=23+3=9

b)

f(x)=x3+3x2+9x11f(x)=3x2+6x+9f(x)=0x=1x=3

f avtar fra minus uendelig til x = -1 og fra x = 3 til uendelig. f vokser fra x = -1 til x = 3. Bunnpunktet for x=-1 er gitt i oppgaven. Man ser at f i tillegg har et maksimum for x=3.

f(3)=27+39+9311=16

Maksimumspunkt: (3,16)

c)

<math>f(x) = -6x+6</math>

Vendepunkt: (1,f(1)) = (1,0)

d)

f(x)=93x2+6x+9=9x(3x+6)=0x=0x=2f(0)=11f(2)=11

Stigningstall er 9 for begge tangentene. Punktene er henholdsvis (0,-11) og (2,11). Det gir følgende likninger for tangentene:

y=ax+by=9x+b11=90+b11=92+bb=11b=7y=9x11y=9x7

e)

Figuren viser grafen til f, sammen med de to tangentene fra oppgave d. Man ser at b må ligge mellom -11 og -7, <-11,-7> for at likningen f(x)= 9x + b skal ha tre løsninger.


Alternativ II

a)


b)

<math>f(x) = \frac{1}{12}(x^4-2x^3-12x^2)\ f'(x) = \frac 13 x^3 - \frac 12 x^2 - 2x \f(x)= x^2-x-2</math>

f(1)=112(1+212)=34f(2)=112(1616124)=4

Koordinater for vendepunktene: (1,34)(2,4)

c)

Rett linje gjennom S og T:

y = ax + b

a=ΔyΔx==4+342+1=1312

Bruker punktet (2, -4) og får:

4=13122+by=1312x116

Ved inspeksjon (Geogebra) ser man at de to andre skjæringspunktene er (-2,85 , 1,26) og Q = (3,85 , -6,01).

d)

STTQ=4,422,73=1,619

e)

<math>g(x) = 12x^2-12</math>

Den dobbelderiverte er null for x lik minus en og for x lik en. Negativ mellom minus en og en, ellers positiv.

Forholdet blir også her 1,619, det gyllne snitt.

Oppgave 5

a)

OM1=12(OA+OB)=12([a,0]+[b,c])=12[a+b,c]=[a+b2,c2]

OM2=12OB=12[b,c]=[b2,c2]

OM3=12OA=12[a,0]=[a2,0]

b)

OS og OM1 er parallelle vektorer. Det vil derfor finnes et tall x som multiplisert med den ene vektoren vil gi den andre vektoren.

AS og AM2 er parallelle og ved å summere OA vektor med en del av AM2vektor vil man ende opp i S.

c)

OS=xOM1OS=OA+yAM2xOM1=OA+yAM2x[a+b2,c2]=[a,0]+y[b2a,c2]xa+b2=a+y(b2a)xc2=yc2xc2=yc2x=yxa+b2=a+x(b2a)x(a+b2b2+a)=ax(a+bb+2a)=2ax=23x=y=23

d)

OS=23OM1=23[a+b2,c2]=[a+b3,c3]

e)

Medianene i en trekant skjærer hverandre i et punkt som deler medianene i forholdet 2:1, regnet fra hjørnene. Dette er i sammsvar med svarene i c og d.

f)

Bracket argument to \\ must be a dimension