Forskjell mellom versjoner av «R1 2008 høst LØSNING»
(→b)) |
m (Teksterstatting – «</tex>» til «</math>») |
||
(62 mellomliggende revisjoner av 2 brukere er ikke vist) | |||
Linje 5: | Linje 5: | ||
== a) == | == a) == | ||
− | 1)< | + | 1)<math>f(x)=3e^{2x}, \quad f'(x) = 3 \cdot 2 e^{2x} = 6e^{2x}</math> |
<p></p> | <p></p> | ||
− | 2)< | + | 2)<math>h(x)=x \cdot lnx, \quad h'(x) = lnx + x \cdot \frac 1x = lnx + 1 </math> |
== b) == | == b) == | ||
− | l går gjennom A(1,2) og B(3,7), < | + | l går gjennom A(1,2) og B(3,7), <math> \vec{AB}=[2,5]</math> |
− | 1)Parameterfremmstilling:< | + | 1)Parameterfremmstilling:<math> l: \left [ x = 1+2t \\ y = 2 + 5t \right]</math> |
<p></p> | <p></p> | ||
2) | 2) | ||
− | + | Skjæring med x-akse, y = 0:<math>t = - \frac 25 \Rightarrow x = \frac 15, \quad \quad ( \frac 15,0)</math> | |
+ | <p></p> | ||
+ | Skjæring med y-akse, x = 0:<math>t = - \frac 12 \Rightarrow y = -\frac 12, \quad \quad (0,- \frac 12)</math> | ||
== c) == | == c) == | ||
− | 1) | + | 1)<math>f(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 - (-1)+3 = -1-3+1+3 = 0 \quad</math> dvs.f(x) er delelig med (x-(-1)) |
+ | <p></p> <math>\quad \quad x^3-3x^2-x+3: (x+1) = x^2-4x+3 \\ -(x^3 +x^2) \\ \quad \quad\quad\quad \quad -4x^2-x \\ \quad \quad -(-4x^2-4x) \\ \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad -(3x+3)\\ \quad \quad\quad \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad\quad \quad \quad 0 </math> | ||
<p></p> | <p></p> | ||
+ | <math>x^2-4x+3 = 0 \\ x= \frac {4 \pm \sqrt{16-12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \\ x = 1 \vee x=3 \\ f(x)= x^3-3x^2-x+3 = (x+1)(x-1)(x-3)</math><p></p> | ||
2) | 2) | ||
+ | <p></p> | ||
+ | [[Fil:R1.2008-1-c.png]]<p></p><math>f(x) \geq 0 \\ x \in [-1,1] \cup [3,\rightarrow></math> | ||
== d) == | == d) == | ||
− | 1) | + | 1) Lengden av sidene i trekanten: <math>\vec{AB}= [2,1], \vec{BC} =[-1,4], \vec{AC} = [1,5] \\ AB = \sqrt{5},\quad BC = \sqrt{17},\quad AC=\sqrt{26}</math> |
<p></p> | <p></p> | ||
2) | 2) | ||
+ | Dersom trekanten er rettvinklet må AC være hypotenusen. <p></p><math>(AC)^2 = 26 \\ (AB)^2 + (AC)^2 = 5+17 = 22 </math><p></p> | ||
+ | Trekanten er ikke rettvinklet. | ||
== e) == | == e) == | ||
− | 1) | + | 1)grafen til f(x) er heltrukket og grafen til f'(x) er stipplet. f(x) vokser til x = 1 hvor den har et maksimum. Fra x = 1 til x = 3 er f(x) avtagende, med et minimum i x = 3. Den deriverte er null i x = 1 og x = 3 og negativ mellom disse verdiene, som er i samsvar med at grafen til f har et negativt stigningstall i dette området. Der f vokser er f' positiv. |
<p></p> | <p></p> | ||
− | 2) | + | 2)<p></p> |
+ | [[Fil:R1-2008-1-e.png]] | ||
== Oppgave 2: == | == Oppgave 2: == | ||
== a) == | == a) == | ||
− | + | <math> \vec{OB}= [3,0], \vec{OC}= [4,3], \vec{OD}= [-1,5] \\ | |
+ | \vec{OM_1}= \frac 12 \vec{OB}= [ \frac 32,0] \\ | ||
+ | \vec{OM_2}= \frac12 \vec{OB}+ \fra 12\vec{OC}= [\frac 32,0]+[2, \frac 32] =[\frac 72,\frac 32] \\ \vec{OM_3}=\frac 12\vec{OC}+\frac 12 \vec{OD}= [2, \frac32]+[- \frac 12, \frac 52]=[\frac 32,4] \\ | ||
+ | \vec{OM_4}= \frac 12\vec{OD}=[-\frac 12, \frac 52]</math> | ||
== b) == | == b) == | ||
+ | Dersom firkanten <math>M_1M_2M_3M_4</math> er et parallellogram, må <math> \vec{M_1M_2} =\vec{M_4M_3} </math>: | ||
+ | <p></p> | ||
+ | <math> \vec{M_1M_2} = [\frac 72, \frac 32]-[\frac 32,0]=[2, \frac32]\\ | ||
+ | \vec{M_4M_3}= [\frac 32,4]-[- \frac 12, \frac 52]=[2, \frac32] </math> | ||
+ | <p></p> | ||
+ | Man observerer at så er tilfelle og at firkanten derfor er et parallellogram. | ||
== c) == | == c) == | ||
+ | Dersom firkanten <math>N_1N_2N_3N_4</math> er et parallellogram, må <math> \vec{N_1N_2} =\vec{N_4N_3} </math>: | ||
+ | <p></p> | ||
+ | <math> \vec{N_1N_2} = [\frac{a+b}{2} \quad ,\quad \frac {c}{2}]-[\frac a2\quad,\quad0]=[\frac b2\quad, \quad\frac c2]\\ | ||
+ | \vec{N_4N_3}= [\frac{b+d}{2}\quad,\quad\frac{c+e}{2}]-[ \frac d2\quad,\quad \frac e2]=[\frac b2\quad, \quad\frac c2] </math> | ||
+ | <p></p> | ||
+ | |||
'''DEL TO''' | '''DEL TO''' | ||
<p></p> | <p></p> | ||
+ | |||
== Oppgave 3: == | == Oppgave 3: == | ||
== a) == | == a) == | ||
− | + | <math> \frac{16}{30} \cdot \frac{15}{29} = \frac {8}{29}</math> | |
== b) == | == b) == | ||
− | + | P( trekker ti kort og får syv svarte og tre røde)<math>= \frac{ \left ({16}\\{7} \right)\cdot\left ({14}\\{3} \right) }{\left ({30}\\{10} \right)} = 0,139 </math> | |
== c) == | == c) == | ||
− | + | [[Fil:R1.2008-3c.png]] | |
+ | <p></p> | ||
+ | P(Cu) = P(før)P(Cu|før) + P(etter)P(Cu|etter) = <math>0,4 \cdot 0,45 + 0,6 \cdot 0,35 = 0,39</math> | ||
== d) == | == d) == | ||
+ | <math>P(foer|Cu) = \frac{P(foer \cap Cu)}{P(Cu)} = \frac{0,4 \cdot 0,45}{0,39} = 0,46</math> | ||
== Oppgave 4: == | == Oppgave 4: == | ||
Linje 66: | Linje 94: | ||
== a) == | == a) == | ||
− | + | <math>y_1=-5x+6 \wedge y_2=4x</math><p></p> | |
+ | Setter x=u i <math>y_2</math> og får 4u, dvs. D(u,4u)<p></p> | ||
+ | Andrekoordinaten til C må være lik andrekoordinaten til D soden DC er parallell med x aksen. | ||
== b) == | == b) == | ||
− | + | C(x,4u), setter inn i y2:<p></p> <math>y_2 = -5x+6 \\ x= \frac{4u-6}{-5} = \frac {6-4u}{5}</math> | |
== c) == | == c) == | ||
− | + | Areal av rektangel: A = bh<p></p> | |
+ | <math>F(u) = b\cdot h = ( \frac{6-4u}{5} - u)(4u) \\ F(u)= \frac{24u}{5} - \frac{36u^2}{5} \\F(u) = - \frac{36}{5} u^2 + \frac{24}{5}u</math> | ||
== d) == | == d) == | ||
− | + | <math>F'(u) = - \frac{72}{5} u + \frac{24}{5} \\ F'(u) = 0 \\ - \frac{72}{5} u + \frac{24}{5} = 0\\ u = \frac 13 \\ F(\frac{1}{3}) = - \frac{36}{5} \cdot \frac 19 + \frac {24}{5} \cdot \frac 13 = -\frac 45 + \frac 85 = \frac 45</math> | |
== Alternativ II == | == Alternativ II == | ||
Linje 81: | Linje 112: | ||
== a) == | == a) == | ||
− | + | <math>y_2 = -x+6 \wedge y_1=x-1 \\ A(2,0) \\y_1 (2)=2-1=1 \Rightarrow D(2,1) \\y_2 = -x+6 \\ 1=-x+6 \\ x=5 \Rightarrow C(5,1) </math> | |
== b) == | == b) == | ||
− | + | <math>A = b \cdot h = (5-2)\cdot 1 = 3</math> | |
== c) == | == c) == | ||
− | + | A(x,0)<p></p> | |
+ | Høyde rekangel: (x+1) | ||
+ | <p></p> | ||
+ | Bredde rektangel: <math>(y_2-y_1) = -2x+7</math><p></p> | ||
+ | Areal:<math>F(x) = b\cdot h = (-2x+7)(x-1) = -2x^2+9x-7</math> <p></p> | ||
+ | Det som mangler i tabellen blir da: | ||
+ | <p></p> | ||
+ | <p></p>F(1,5)= 2 | ||
+ | <p></p>F(2,5)= 3 | ||
+ | <p></p>F(3) = 2 | ||
== d) == | == d) == | ||
+ | <math>F(x) = (-2x+7)(x-1) = -2x^2+9x-7 \\ F'(x)= -4x+9 \\ F'(x)=0 \Rightarrow x = \frac 94</math> | ||
+ | <p></p> | ||
+ | Største areal: <math>F(\frac 94) = \frac{25}{8}</math><p></p> | ||
+ | <math> | ||
+ | A= ( \frac 94,0) \\ D=( \frac 94, \frac 54) \\ C = (\frac{19}{4}, \frac 54) \\ B=( \frac {19}{4}, 0) | ||
+ | </math> | ||
== Oppgave 5: == | == Oppgave 5: == | ||
Linje 95: | Linje 141: | ||
== a) == | == a) == | ||
− | + | Vinkelhalveringslinjene møtes i S. Trekanten ADS har samme mål som trekanten AES. Derfor er AD = AE. Samme resonement gjelder for de andre vinklene i trekantene, derfor er BF = BE og CD = CF. | |
== b) == | == b) == | ||
− | + | AD = AE = x <p></p> | |
+ | BF = BE = y <p></p> | ||
+ | a = BC = y + r <p></p> | ||
+ | b = AC = x + r <p></p> | ||
+ | c = AB = x + y | ||
== c) == | == c) == | ||
− | + | a + b - c = (y + r) + (x + r) - ( x + y) = 2r<p></p> | |
+ | I en rettvinklet trekant er summen av katetene minus hypotenusen lik diameteren til den innskrevne sirkelen. | ||
== d) == | == d) == | ||
− | + | Det er tilfelle fordi avstanden er denn samme til begge (alle) vinkelbein. Avstanden er r. | |
== e) == | == e) == | ||
+ | [[Fil:R1-2008-5-e.png]]<p></p> |
Nåværende revisjon fra 5. feb. 2013 kl. 20:59
Oppgave 1:
a)
1)<math>f(x)=3e^{2x}, \quad f'(x) = 3 \cdot 2 e^{2x} = 6e^{2x}</math>
2)<math>h(x)=x \cdot lnx, \quad h'(x) = lnx + x \cdot \frac 1x = lnx + 1 </math>
b)
l går gjennom A(1,2) og B(3,7), <math> \vec{AB}=[2,5]</math>
1)Parameterfremmstilling:<math> l: \left [ x = 1+2t \\ y = 2 + 5t \right]</math>
2) Skjæring med x-akse, y = 0:<math>t = - \frac 25 \Rightarrow x = \frac 15, \quad \quad ( \frac 15,0)</math>
Skjæring med y-akse, x = 0:<math>t = - \frac 12 \Rightarrow y = -\frac 12, \quad \quad (0,- \frac 12)</math>
c)
1)<math>f(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 - (-1)+3 = -1-3+1+3 = 0 \quad</math> dvs.f(x) er delelig med (x-(-1))
<math>\quad \quad x^3-3x^2-x+3: (x+1) = x^2-4x+3 \\ -(x^3 +x^2) \\ \quad \quad\quad\quad \quad -4x^2-x \\ \quad \quad -(-4x^2-4x) \\ \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad -(3x+3)\\ \quad \quad\quad \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad\quad \quad \quad 0 </math>
<math>x^2-4x+3 = 0 \\ x= \frac {4 \pm \sqrt{16-12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \\ x = 1 \vee x=3 \\ f(x)= x^3-3x^2-x+3 = (x+1)(x-1)(x-3)</math>
2)
<math>f(x) \geq 0 \\ x \in [-1,1] \cup [3,\rightarrow></math>
d)
1) Lengden av sidene i trekanten: <math>\vec{AB}= [2,1], \vec{BC} =[-1,4], \vec{AC} = [1,5] \\ AB = \sqrt{5},\quad BC = \sqrt{17},\quad AC=\sqrt{26}</math>
2)
Dersom trekanten er rettvinklet må AC være hypotenusen.
<math>(AC)^2 = 26 \\ (AB)^2 + (AC)^2 = 5+17 = 22 </math>
Trekanten er ikke rettvinklet.
e)
1)grafen til f(x) er heltrukket og grafen til f'(x) er stipplet. f(x) vokser til x = 1 hvor den har et maksimum. Fra x = 1 til x = 3 er f(x) avtagende, med et minimum i x = 3. Den deriverte er null i x = 1 og x = 3 og negativ mellom disse verdiene, som er i samsvar med at grafen til f har et negativt stigningstall i dette området. Der f vokser er f' positiv.
2)
Oppgave 2:
a)
<math> \vec{OB}= [3,0], \vec{OC}= [4,3], \vec{OD}= [-1,5] \\ \vec{OM_1}= \frac 12 \vec{OB}= [ \frac 32,0] \\ \vec{OM_2}= \frac12 \vec{OB}+ \fra 12\vec{OC}= [\frac 32,0]+[2, \frac 32] =[\frac 72,\frac 32] \\ \vec{OM_3}=\frac 12\vec{OC}+\frac 12 \vec{OD}= [2, \frac32]+[- \frac 12, \frac 52]=[\frac 32,4] \\ \vec{OM_4}= \frac 12\vec{OD}=[-\frac 12, \frac 52]</math>
b)
Dersom firkanten <math>M_1M_2M_3M_4</math> er et parallellogram, må <math> \vec{M_1M_2} =\vec{M_4M_3} </math>:
<math> \vec{M_1M_2} = [\frac 72, \frac 32]-[\frac 32,0]=[2, \frac32]\\ \vec{M_4M_3}= [\frac 32,4]-[- \frac 12, \frac 52]=[2, \frac32] </math>
Man observerer at så er tilfelle og at firkanten derfor er et parallellogram.
c)
Dersom firkanten <math>N_1N_2N_3N_4</math> er et parallellogram, må <math> \vec{N_1N_2} =\vec{N_4N_3} </math>:
<math> \vec{N_1N_2} = [\frac{a+b}{2} \quad ,\quad \frac {c}{2}]-[\frac a2\quad,\quad0]=[\frac b2\quad, \quad\frac c2]\\ \vec{N_4N_3}= [\frac{b+d}{2}\quad,\quad\frac{c+e}{2}]-[ \frac d2\quad,\quad \frac e2]=[\frac b2\quad, \quad\frac c2] </math>
DEL TO
Oppgave 3:
a)
<math> \frac{16}{30} \cdot \frac{15}{29} = \frac {8}{29}</math>
b)
P( trekker ti kort og får syv svarte og tre røde)<math>= \frac{ \left ({16}\\{7} \right)\cdot\left ({14}\\{3} \right) }{\left ({30}\\{10} \right)} = 0,139 </math>
c)
P(Cu) = P(før)P(Cu|før) + P(etter)P(Cu|etter) = <math>0,4 \cdot 0,45 + 0,6 \cdot 0,35 = 0,39</math>
d)
<math>P(foer|Cu) = \frac{P(foer \cap Cu)}{P(Cu)} = \frac{0,4 \cdot 0,45}{0,39} = 0,46</math>
Oppgave 4:
Alternativ I
a)
<math>y_1=-5x+6 \wedge y_2=4x</math>
Setter x=u i <math>y_2</math> og får 4u, dvs. D(u,4u)
Andrekoordinaten til C må være lik andrekoordinaten til D soden DC er parallell med x aksen.
b)
C(x,4u), setter inn i y2:
<math>y_2 = -5x+6 \\ x= \frac{4u-6}{-5} = \frac {6-4u}{5}</math>
c)
Areal av rektangel: A = bh
<math>F(u) = b\cdot h = ( \frac{6-4u}{5} - u)(4u) \\ F(u)= \frac{24u}{5} - \frac{36u^2}{5} \\F(u) = - \frac{36}{5} u^2 + \frac{24}{5}u</math>
d)
<math>F'(u) = - \frac{72}{5} u + \frac{24}{5} \\ F'(u) = 0 \\ - \frac{72}{5} u + \frac{24}{5} = 0\\ u = \frac 13 \\ F(\frac{1}{3}) = - \frac{36}{5} \cdot \frac 19 + \frac {24}{5} \cdot \frac 13 = -\frac 45 + \frac 85 = \frac 45</math>
Alternativ II
a)
<math>y_2 = -x+6 \wedge y_1=x-1 \\ A(2,0) \\y_1 (2)=2-1=1 \Rightarrow D(2,1) \\y_2 = -x+6 \\ 1=-x+6 \\ x=5 \Rightarrow C(5,1) </math>
b)
<math>A = b \cdot h = (5-2)\cdot 1 = 3</math>
c)
A(x,0)
Høyde rekangel: (x+1)
Bredde rektangel: <math>(y_2-y_1) = -2x+7</math>
Areal:<math>F(x) = b\cdot h = (-2x+7)(x-1) = -2x^2+9x-7</math>
Det som mangler i tabellen blir da:
F(1,5)= 2
F(2,5)= 3
F(3) = 2
d)
<math>F(x) = (-2x+7)(x-1) = -2x^2+9x-7 \\ F'(x)= -4x+9 \\ F'(x)=0 \Rightarrow x = \frac 94</math>
Største areal: <math>F(\frac 94) = \frac{25}{8}</math>
<math> A= ( \frac 94,0) \\ D=( \frac 94, \frac 54) \\ C = (\frac{19}{4}, \frac 54) \\ B=( \frac {19}{4}, 0) </math>
Oppgave 5:
a)
Vinkelhalveringslinjene møtes i S. Trekanten ADS har samme mål som trekanten AES. Derfor er AD = AE. Samme resonement gjelder for de andre vinklene i trekantene, derfor er BF = BE og CD = CF.
b)
AD = AE = x
BF = BE = y
a = BC = y + r
b = AC = x + r
c = AB = x + y
c)
a + b - c = (y + r) + (x + r) - ( x + y) = 2r
I en rettvinklet trekant er summen av katetene minus hypotenusen lik diameteren til den innskrevne sirkelen.
d)
Det er tilfelle fordi avstanden er denn samme til begge (alle) vinkelbein. Avstanden er r.