R1 2008 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
 
(97 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist)
Linje 1: Linje 1:
==Andre løsninger==
[http://udl.no/matematikk/eksamen-r1-v08 Videoløsning av noen oppgaver fra UDL.no]
= Del 1 =
= Del 1 =


Linje 6: Linje 9:


=== a) ===
=== a) ===
<tex>f(x) = x^2 \cdot lnx \ f'(x) = 2x \cdot lnx + \frac 1x \cdot x^2 = 2xlnx+x = (2lnx+1)x</tex>
<math>f(x) = x^2 \cdot lnx \ f'(x) = 2x \cdot lnx + \frac 1x \cdot x^2 = 2xlnx+x = (2lnx+1)x</math>


=== b) ===
=== b) ===
<tex>\quad(x^3-4x^2+x+6):(x-2) =x^2 -2x - 3 \ -(x^3-2x^2)\ \quad \quad \quad\quad \quad  -2x^2+x \ \quad \quad \quad -(-2x^2+4x) \ \quad \quad \quad\quad \quad \quad -3x+6 \ \quad \quad \quad\quad \quad \quad -(-3x+6)\  \quad \quad \quad\quad \quad \quad 0</tex>
<math>\quad(x^3-4x^2+x+6):(x-2) =x^2 -2x - 3 \ -(x^3-2x^2)\ \quad \quad \quad  -2x^2+x \ \quad \quad -(-2x^2+4x) \ \quad \quad \quad \quad\quad\quad \quad -3x+6 \ \quad \quad \quad\quad \quad \quad -(-3x+6)\  \quad \quad \quad\quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad \quad0</math>


=== c) ===
=== c) ===
<tex>\lim_{x\to 8} \frac{x^2-64}{2x+16} =\lim_{x\to 8} \frac{(x-8)(x+8)}{2(x-8)}= \lim_{x\to 8} \frac{(x+8)}{2}=8 </tex>
<math>\lim_{x\to 8} \frac{x^2-64}{2x+16} =\lim_{x\to 8} \frac{(x-8)(x+8)}{2(x-8)}= \lim_{x\to 8} \frac{(x+8)}{2}=8 </math>


=== d) ===
=== d) ===
<tex>lg(x \cdot y^2)-2lgy+ lg(\frac{x}{y^2}) = lgx + 2lgy - 2lgy +lgx - 2lgy = 2(lgx-lgy)= 2lg ( \frac xy)</tex>
<math>lg(x \cdot y^2)-2lgy+ lg(\frac{x}{y^2}) = \lg x + 2\lg y - 2\lg y +\lg x - 2\lg y = 2(\lg x - \lg y)= 2\lg ( \frac xy)</math>


=== e) ===
=== e) ===
Linje 22: Linje 25:
'''1)'''
'''1)'''


f(x)=xexf(x)=1ex+xex(1)=exxex=(1x)exf(x)=0x=1Toppunkt (sett inn for x= 0 og x=2 også) :(1,f(1))=(1,1e)


'''2)'''
'''2)'''
<Math> f''(x) = (x-2)e^{-x}\  f''(x)=0 \Rightarrow x=2 \  \text{Vendepunkt:}\quad(2,f(2)) = (2,2e^{-2}) = (2, \frac{2}{e^2}) </Math>


== Oppgave 2 ==
== Oppgave 2 ==
Linje 29: Linje 35:


=== a) ===
=== a) ===
Dersom vektorene står vinkelrett på hverandre er skalarproduktet null:<p></p>
uv=0ab+ab=0


=== b) ===


=== b) ===
$l: \begin{bmatrix}
x=3-  t    \
y=4 +4 t
\end{bmatrix}$


<p></p>
Linjen CF3 går gjennom punktet C som har koordinatene (3,4). Linjen står vinkelrett på AB og skalarproduktet mellom rettningsvektorene må være null:<p></p>
[1,4][4,1]=0<p></p>
Hvilket betyr at l er en parameterfremmstilling for CF3


=== c) ===
=== c) ===
Linjen AF1 går gjennom punktet (1,0). Linjen står vinkelrett på BC. Stigningstallet til AF1 blir da:<p></p>
32x=1x=23<p></p> som gir rettningsvektor [3,2] og parameterfremmstilling:<p></p>


$l: \begin{bmatrix}
x= 1+ 3s    \
y=2s
\end{bmatrix}$


=== d) ===
=== d) ===
$l: \begin{bmatrix}
l = m \
3-t = 1+3s \wedge 4+4t = 2s    \
s = 2 + 2t \wedge 3-t = 1 + 6 + 6t \
t = - \frac 47
\end{bmatrix}$


<p></p> Skjæringspunkt blir da:<p></p>
x=3(47)=257y=4+(47)=127


=== e) ===
=== e) ===


En parameterfremmstilling for $BF_2: \begin{bmatrix}
x=5-2s    \
y=1 + s
\end{bmatrix}$
<p></p>
$l: \begin{bmatrix}
5-2s = 3-t \wedge 1+s = 4+4t      \
t= - \frac47
\end{bmatrix}$
<p></p>
$l: \begin{bmatrix}
x= 3-t = \frac{25}{7}    \
y = 4+4t = \frac {12}{7}
\end{bmatrix}$
<p></p>
Høydene i en trekant skjærer hverandre i et punkt, ortosenteret.


= Del 2 =
= Del 2 =
Linje 50: Linje 96:


=== a) ===
=== a) ===
 
Dette er et uordnet utvalg uten tilbakelegging:
<p></p>
nCr=(nr)=n!r!(nr)!=52!5!47!=2598960 muligheter.


=== b) ===
=== b) ===
 
A:  Man får utdelt 5 kort tilfeldig, og alle skal være spar. Det er et uordnet utvalg uten tilbakelegging<p></p>
P(A)=(135)(525)=0,0005
<p></p>
B: Man får utdelt 5 kort tilfeldig, og alle skal være svarte. Det er et uordnet utvalg uten tilbakelegging<p></p>
P(B)=(265)(525)=0,025
<p></p>


=== c) ===
=== c) ===
 
Man vet at alle kortene på hånden er svarte. Sannsynlighete for at de er spar:<p></p>
P(A|B)=(135)(265)=0,02
<p></p>
Dersom A og B er uavhengige hendelser er <p></p>
P(A|B)=P(A)<p></p>
Som man ser er det ikke tilfelle her. A og B er avhengige hendelser.


== Oppgave 4 ==
== Oppgave 4 ==
Linje 65: Linje 123:


==== a) ====
==== a) ====
 
En funksjon vokser når den deriverte er positiv. f vokser for x verdier fra en til tre.


==== b) ====
==== b) ====
 
f har et minimumspunkt når x = 1, da er den deriverte null og skifter fra negativ til positiv verdi.<p></p>
f har et maksimumspunkt når x = 3, da er den deriverte null og skifter fra positiv til negativ verdi.<p></p>
f har et vendepunkt når x = 2.Den deriverte har et maksimumspunkt, og f skifter fra å vende sin hule side opp, for x verdier mindre enn 2, til å vende sin hule side ned for verdier større enn 2.


==== c) ====
==== c) ====
 
<math>f'(x) = ax^2+bx+c \ f'(0) = - 3 \Rightarrow c = -3 \ f'(1) = 0 \Rightarrow a+b-3=0 \ x= \frac{-b}{2a} \Rightarrow b = -4a \ a-4a -3 = 0 \Rightarrow a =-1 \quad \wedge \quad b=4 \
f'(x) = -x^2+4x-3</math>


==== d) ====
==== d) ====
Dersom man deriverer f får man uttrykket for f' gitt i oppgave 4c. f går gjennom origo fordi f(0) = 0.
<p></p>[[Fil:R1-98-4d.png]]


=== Alternativ II ===  
=== Alternativ II ===  
Linje 79: Linje 142:


==== a) ====
==== a) ====
Lengden av DB er 1x2<p></p>
Grunnlinjen i trekanten ABC er 2DB =21x2<p></p>
Høyden i trekanten ABC er 1+x<p></p>
Arealet av ABC er A=12gh=1221x2(1+x)=(1+x)1x2


==== b) ====


==== b) ====


[[Fil:R1-2012-4.png]]
<p></p> Når x=0,5 er arealet 1,3. Dette er det største arealet ABC kan ha.


==== c) ====
==== c) ====
F(x)=1x2+(x+1)121x2(2x)=1x2x2+x1x2=1x2x21x2
<p></p>
Setter F(12) og får:<p></p>
112214=0<p></p>
Dette er i sammsvar med oppgave b, da den deriverte i toppunktet er lik null.


==== d) ====


==== d) ====
Bruker Pytagoras et par ganger:
<math> x= \frac 12 \ DC = \frac 32 \ AB = 2\sqrt{1- \frac 14} = \sqrt3 \AC = BC = \frac{\sqrt{12}}{2} = \sqrt 3</math>


== Oppgave 5 ==
== Oppgave 5 ==




=== a) ===  
=== a) ===
S1S2 er summen av radiusene i S1 og S2, altså a+b.<p></p>
S1S2=a+c <p></p>
S2S3=b+c
 
=== b) ===
(a+b)2=(ab)2+(AC)2(AC)2=a2+2ab+b2a2+2abb2=4abAC=2ab
 
=== c) ===
(a+c)2=(ac)2+(AB)2(AB)2=a2+2ac+c2a2+2acc2=4acAB=2ac


=== b) ===
<p></p>


=== c) ===  
<math> (b + c)^2 = (b -c)^2 + (BC)^2 \ (BC)^2 = b^2+2bc+ c^2 -b^2 +2bc - c^2 = 4bc \ BC = 2\sqrt{bc}</math>


=== d) ===  
=== d) ===
<math> AC = AB + BC \ 2\sqrt{ab} = 2\sqrt{ac} + 2\sqrt{bc} \ \sqrt{ab} =\sqrt{ac} + \sqrt{bc}  \  \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{abc}} = \frac {\sqrt{ac}}{\sqrt{abc}} + \frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{abc}} \
\frac{1}{\sqrt c} = \frac{1}{\sqrt b} + \frac{1}{\sqrt a}
</math>


=== e) ===  
=== e) ===
<math> \frac{1}{\sqrt c} = \frac{1}{\sqrt b} + \frac{1}{\sqrt a} \a = b = r \
\frac{1}{\sqrt c} = \frac{1}{\sqrt r} + \frac{1}{\sqrt r} \
\frac{1}{\sqrt c} = \frac{2}{\sqrt r}\ 2 \sqrt c = \sqrt r \ c = \frac r4</math>


=== f) ===
=== f) ===
[[Fil:R1-1998-5d.png]]

Siste sideversjon per 26. feb. 2014 kl. 09:43

Andre løsninger

Videoløsning av noen oppgaver fra UDL.no

Del 1

Oppgave 1

a)

f(x)=x2lnxf(x)=2xlnx+1xx2=2xlnx+x=(2lnx+1)x

b)

(x34x2+x+6):(x2)=x22x3(x32x2)2x2+x(2x2+4x)3x+6(3x+6)0

c)

limx8x2642x+16=limx8(x8)(x+8)2(x8)=limx8(x+8)2=8

d)

lg(xy2)2lgy+lg(xy2)=lgx+2lgy2lgy+lgx2lgy=2(lgxlgy)=2lg(xy)

e)

1)

f(x)=xexf(x)=1ex+xex(1)=exxex=(1x)exf(x)=0x=1Toppunkt (sett inn for x= 0 og x=2 også) :(1,f(1))=(1,1e)

2)

<Math> f(x) = (x-2)e^{-x}\ f(x)=0 \Rightarrow x=2 \ \text{Vendepunkt:}\quad(2,f(2)) = (2,2e^{-2}) = (2, \frac{2}{e^2}) </Math>

Oppgave 2

a)

Dersom vektorene står vinkelrett på hverandre er skalarproduktet null:

uv=0ab+ab=0

b)

l:[x=3ty=4+4t]

Linjen CF3 går gjennom punktet C som har koordinatene (3,4). Linjen står vinkelrett på AB og skalarproduktet mellom rettningsvektorene må være null:

[1,4][4,1]=0

Hvilket betyr at l er en parameterfremmstilling for CF3

c)

Linjen AF1 går gjennom punktet (1,0). Linjen står vinkelrett på BC. Stigningstallet til AF1 blir da:

32x=1x=23

som gir rettningsvektor [3,2] og parameterfremmstilling:

l:[x=1+3sy=2s]

d)

l:[l=m3t=1+3s4+4t=2ss=2+2t3t=1+6+6tt=47]

Skjæringspunkt blir da:

x=3(47)=257y=4+(47)=127

e)

En parameterfremmstilling for BF2:[x=52sy=1+s]

l:[52s=3t1+s=4+4tt=47]

l:[x=3t=257y=4+4t=127]

Høydene i en trekant skjærer hverandre i et punkt, ortosenteret.

Del 2

Oppgave 3

a)

Dette er et uordnet utvalg uten tilbakelegging:

nCr=(nr)=n!r!(nr)!=52!5!47!=2598960 muligheter.

b)

A: Man får utdelt 5 kort tilfeldig, og alle skal være spar. Det er et uordnet utvalg uten tilbakelegging

P(A)=(135)(525)=0,0005

B: Man får utdelt 5 kort tilfeldig, og alle skal være svarte. Det er et uordnet utvalg uten tilbakelegging

P(B)=(265)(525)=0,025

c)

Man vet at alle kortene på hånden er svarte. Sannsynlighete for at de er spar:

P(A|B)=(135)(265)=0,02

Dersom A og B er uavhengige hendelser er

P(A|B)=P(A)

Som man ser er det ikke tilfelle her. A og B er avhengige hendelser.

Oppgave 4

Alternativ I

a)

En funksjon vokser når den deriverte er positiv. f vokser for x verdier fra en til tre.

b)

f har et minimumspunkt når x = 1, da er den deriverte null og skifter fra negativ til positiv verdi.

f har et maksimumspunkt når x = 3, da er den deriverte null og skifter fra positiv til negativ verdi.

f har et vendepunkt når x = 2.Den deriverte har et maksimumspunkt, og f skifter fra å vende sin hule side opp, for x verdier mindre enn 2, til å vende sin hule side ned for verdier større enn 2.

c)

f(x)=ax2+bx+cf(0)=3c=3f(1)=0a+b3=0x=b2ab=4aa4a3=0a=1b=4f(x)=x2+4x3

d)

Dersom man deriverer f får man uttrykket for f' gitt i oppgave 4c. f går gjennom origo fordi f(0) = 0.

Alternativ II

a)

Lengden av DB er 1x2

Grunnlinjen i trekanten ABC er 2DB =21x2

Høyden i trekanten ABC er 1+x

Arealet av ABC er A=12gh=1221x2(1+x)=(1+x)1x2

b)

Når x=0,5 er arealet 1,3. Dette er det største arealet ABC kan ha.

c)

F(x)=1x2+(x+1)121x2(2x)=1x2x2+x1x2=1x2x21x2

Setter F(12) og får:

112214=0

Dette er i sammsvar med oppgave b, da den deriverte i toppunktet er lik null.

d)

Bruker Pytagoras et par ganger: x=12DC=32AB=2114=3AC=BC=122=3

Oppgave 5

a)

S1S2 er summen av radiusene i S1 og S2, altså a+b.

S1S2=a+c

S2S3=b+c

b)

(a+b)2=(ab)2+(AC)2(AC)2=a2+2ab+b2a2+2abb2=4abAC=2ab

c)

(a+c)2=(ac)2+(AB)2(AB)2=a2+2ac+c2a2+2acc2=4acAB=2ac

(b+c)2=(bc)2+(BC)2(BC)2=b2+2bc+c2b2+2bcc2=4bcBC=2bc

d)

AC=AB+BC2ab=2ac+2bcab=ac+bcababc=acabc+bcabc1c=1b+1a

e)

1c=1b+1aa=b=r1c=1r+1r1c=2r2c=rc=r4

f)