1T 2010 høst LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
 
(57 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist)
Linje 1: Linje 1:
DEL 1.
[http://ndla.no/nb/node/95559?fag=54 Løsning fra NDLA]
 
[http://folk.ntnu.no/oistes/Eksamen%20-%20VGS/1T/T1%20H10.pdf  Løsning fra Nebu]
 
=DEL 1=


== Oppgave 1 ==
== Oppgave 1 ==
Linje 6: Linje 10:
<p></p>
<p></p>


<tex>
<math>
x+y=4 \wedge 3x - y =8</tex>
x+y=4 \wedge 3x - y =8</math>
<p></p>
<p></p>
<tex>y=4-x \wedge 3x-4+x=8</tex>
<math>y=4-x \wedge 3x-4+x=8</math>


<p></p>
<p></p>
<tex>y=4-x \wedge 4x=12</tex>
<math>y=4-x \wedge 4x=12</math>


<p></p>
<p></p>
<tex>y=4-x \wedge x=3</tex>
<math>y=4-x \wedge x=3</math>


<p></p>
<p></p>
<tex>y=1 \wedge x=3</tex>
<math>y=1 \wedge x=3</math>
<p></p>
<p></p>
<tex>x=3 \wedge y=1</tex>
<math>x=3 \wedge y=1</math>






b)
b)<p></p>
1)<p></p>
[[Fil:1d1.png]]
<p></p>
<p></p>
 
2)<p></p>
<tex>- \frac14x+2 =2x- \frac52</tex><p></p>
<math>- \frac14x+2 =2x- \frac52</math><p></p>
<tex>x+8 =8x- 10</tex><p></p>
<math>x+8 =8x- 10</math><p></p>
<tex>- 9x = - 18</tex><p></p>
<math>- 9x = - 18</math><p></p>
<tex>x = 2</tex><p></p>
<math>x = 2</math><p></p>




c)
c)
<p></p>
<p></p>
<tex>5,7 \cdot 10^4 + 3,0 \cdot 10^3 = 57000 + 3000 = 60000 = 6,0 \cdot 10^4</tex>
<math>5,7 \cdot 10^4 + 3,0 \cdot 10^3 = 57000 + 3000 = 60000 = 6,0 \cdot 10^4</math>




Linje 41: Linje 47:
<p></p>
<p></p>


<tex>
<math>
\frac{3}{x+4} + \frac{24}{x^2-16} = \frac{3}{x+4} + \frac{24}{(x+4)(x-4)}= \frac{3 (x-4)}{(x+4)(x-4)} + \frac{24}{(x+4)(x-4)}= \\  
\frac{3}{x+4} + \frac{24}{x^2-16} = \frac{3}{x+4} + \frac{24}{(x+4)(x-4)}= \frac{3 (x-4)}{(x+4)(x-4)} + \frac{24}{(x+4)(x-4)}= \\  
\frac{3x-12}{(x+4)(x-4)} + \frac{24}{(x+4)(x-4)}= \frac{3x + 12}{(x+4)(x-4)} = \frac{3(x+4)}{(x+4)(x-4)}= \frac{3}{x-4}
\frac{3x-12}{(x+4)(x-4)} + \frac{24}{(x+4)(x-4)}= \frac{3x + 12}{(x+4)(x-4)} = \frac{3(x+4)}{(x+4)(x-4)}= \frac{3}{x-4}
</tex><p></p>
</math><p></p>
e)
e)
<p></p>
<p></p>
Bruker abc formelen og faktoriserer:<p></p>
<math>x^2+2x-8 \geq 0 \\ (x+4)(x-2) \geq 0</math><p></p> Tegner fortegnsskjema:<p></p>
[[Fil:1e.png]]<p></p>
<math>x \in < \leftarrow, -4] \cup [2, \rightarrow ></math><p></p>
f)
f)
<p></p>
<p></p>
[[Fil:1f.png]]<p></p>
g)
g)
<p></p>
<p></p>
1)Sannsynlighet for å like begge:<p></p>
1)Sannsynlighet for å like begge:<p></p>
<tex>P(liker \quad begge) =\frac{16}{25}\cdot \frac{15}{24} = \frac 35</tex>
<math>P(liker \quad begge) =\frac{16}{25}\cdot \frac{15}{24} = \frac{2}{5}\cdot \frac{3}{3} =\frac 25</math>
<p></p>
<p></p>
2) Sannsynligheten for bare å like en:<p></p>
2) Sannsynligheten for bare å like en:<p></p>
<tex>P(liker \quad bare \quad en) = \frac{16}{25} \cdot \frac{9}{24} + \frac{9}{25} \cdot \frac{16}{24} = \frac{12}{25}</tex>
<math>P(liker \quad bare \quad en) = \frac{16}{25} \cdot \frac{9}{24} + \frac{9}{25} \cdot \frac{16}{24} = \frac{12}{25}</math>


== Oppgave 2 ==
== Oppgave 2 ==


a)<p></p>
a)<p></p>
<tex> f(x) = \frac 13x^3-^x^2 + 7 \\ f'(x) = x^2-2x \\ f'(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1</tex><p></p>
<math> f(x) = \frac 13x^3-^x^2 + 7 \\ f'(x) = x^2-2x \\ f'(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1</math><p></p>
b)<p></p>
b)<p></p>
<tex>f(0)= 7 \\ f(3) = 7</tex><p></p> Den gjennomsnittlige veksten fra x = 0 til x = 3 er null. Siden den momentane vekstfarten for x = 1 er -1 har funksjonen et minimumspunkt i intervallet.  
<math>f(0)= 7 \\ f(3) = 7</math><p></p> Den gjennomsnittlige veksten fra x = 0 til x = 3 er null. Siden den momentane vekstfarten for x = 1 er -1 har funksjonen et minimumspunkt i intervallet.  
<p></p>
<p></p>
c)<p></p>
c)<p></p>
<tex>f'(x) = 0 \\ x^2 - 2x = 0 \\ x(x-2) = 0 \\ x=0 \wedge x=2</tex>
<math>f'(x) = 0 \\ x^2 - 2x = 0 \\ x(x-2) = 0 \\ x=0 \wedge x=2</math><p></p>
<tex>f(0)= 7 \\
<math>f(0)= 7 \\
f(2) = \frac{17}{3}  </tex>
f(2) = \frac{17}{3}  </math>
Sjekker forttegnet for den deriverte for x = -1 og x = 3 og finner at begge er positive. Fra før vet vi at den deriverte er negativ for x=1.  <p></p>
Sjekker forttegnet for den deriverte for x = -1 og x = 3 og finner at begge er positive. Fra før vet vi at den deriverte er negativ for x=1.  <p></p>
Maksimumspunkt: <tex>(0, 7)</tex>  <p></p>
Maksimumspunkt: <math>(0, 7)</math>  <p></p>
Minimumspunkt:<tex>(2, \frac/{17}{3})</tex>  <p></p>
Minimumspunkt:<math>(2, \frac{17}{3})</math>  <p></p>




Linje 78: Linje 89:


== Oppgave 3 ==
== Oppgave 3 ==
a)<p></p>


[[Fil:3del2.png]]<p></p>




== Oppgave 4 ==
b)<p></p>
Det vil finne sted når brøkeksponenten er en, altså etter 5730 år.<p></p>
 
c)<p></p>


<math>T(x) = 100 \cdot 0,5^{\frac{x}{5730}} \\ \Downarrow \\ 0,865 = 0,5^{\frac{x}{5730}} \\ \Downarrow \\ x = 5730 \cdot \frac{lg 0,865}{lg 0,5} = 1200
</math> <p></p>
Brønnen var ca. 1200 år gammel.


== Oppgave 4 ==


== Oppgave 5 ==
a)<p></p>


<math> tan(51,3^{\circ}) = \frac{h}{10m}\\ \Downarrow \\
x= 10 \cdot tan(51,3^{\circ})\\ \Downarrow \\ x = 12,48 m</math><p></p>


b)<p></p>
<math>
\frac{Sin (15,4 ^{\circ})}{40m} = \frac{Sin (94,9 ^{\circ})}{AB} \\ \Downarrow \\ AB = 150m
</math>
<p></p>
c)<p></p>
Finner først en vinkel ved å bruke cosinussetningen. Bruker så arealsetningen.
<p></p>
<math> 14^2 = 24^2 + 20^2 - 2 \cdot 20 \cdot 24 \cdot cos A \\ cos A = \frac{14^2-24^2-20^2}{-2 \cdot 20 \cdot 24}\\ A= 35,7^{\circ}</math>
<p></p>Dette er vinkelen mellom sidene som er 24m og 20m. Arealet blir:<p></p>
<math>A= \frac 12 \cdot 20m \cdot 24m \cdot sin 35,7^{\circ}= 140m^2</math>


== Oppgave 5 ==
a)<p></p>
[[Fil:5a.png]]
<p></p>
b)<p></p>
<math>P(oensker \quad ballbinge) = \frac{130}{240} = 0,54 </math>
<p></p>
c)<p></p>
<math> P(mann \quad gitt \quad oensker \quad ballbinge) = \frac{63}{130} = 0,48 </math>
<p></p>
d)
<p></p>
<math> \frac{130+x}{240 + x} = 0,75 \\ x = 200</math><p></p>
Det må verves 200 personer som ønsker ballbinge.


== Oppgave 6 ==
== Oppgave 6 ==
a)<p></p>
Den faste månedsprisen er ca. 90 kroner, lest av graf.<p></p>
Pris for 500 minutter er 340kr. Prisen per ringeminutt blir da:<p></p>
<math>\frac{340kr - 90kr}{500min} = 0,50kr/min </math>
<p></p>
b)<p></p>


[[Fil:6bc.png]]
<p></p>
c)
<p></p>
Dersom man ringer mindre enn 63 min. per måned er A billigst.<p></p>
Dersom man ringer mellom 63 min. og 384 min. er B billigst.<p></p>
Over 384 min. er C billigst


== Oppgave 7 ==
a)<p></p>
Sannsynlighet for at alle er på Facebook: P(alle er på) = <math>(0,95)^{25} = 0,277 </math> <p></p> Det er 27,8% sannsynlighet for at alle er på.<p></p>


== Oppgave 7 ==
b)<p></p>
<math> P(flere \quad enn \quad 20)=P(X=21) +P(X=22) + P(X=23) +P(X=24)+P(X=25) = \\ \left ({25}\\{21} \right) 0,95^{21} \cdot 0,05^{4} + \left ({25}\\{22} \right) 0,95^{22} \cdot 0,05^{3} + \left ({25}\\{23} \right) 0,95^{23} \cdot 0,05^{2} + \left ({25}\\{24} \right) 0,95^{24} \cdot 0,05^{1} + \left ({25}\\{25} \right) 0,95^{25} \cdot 0,05^{0} = 0,992</math>
<p></p>Det er 99,2% sannsynlig at mer enn 20 har profil på Facebook.


== Oppgave 8 ==


=== Alternativ 1 ===


== Oppgave 8 ==
a)<p></p> <math> f(x) = -2x^2 + ax + 4 \\ f'(x) = -4x + a \\f'(x) = -4x + 2 \\ f'(x) = 0\\ -4x + 2 = 0 \\ x = \frac 12</math>
<p></p>
Toppunkt <math>( \frac 12,\quad f(\frac 12))</math> dvs. <math> (\frac12,\quad \frac 92)</math>
<p></p>
b)
<p></p>
<math>f'(-1) = 0 \Rightarrow -4(-1) + a = 0 \Rightarrow a=-4</math><p></p>
c)
<p></p>
Ser at funksjonen har konstantledd lik 4. Det betyr at grafen alltid går gjennom punktet (0,4) uansett x og a verdier. Den laveste verdi for toppunktet blir derfor når x = 0. Altså når det er symmetri om y aksen<p></p>
<math>x= \frac a{-4} \Rightarrow 0 = \frac a{-4} \Rightarrow a=0</math>
<p></p>
dersom man bruker glider på a i Geogebra løser man både b og c ved inspeksjon.
 
=== Alternativ 2 ===
a)
<p></p>
Bruker pytagoras: Desom trekanten er rettvinklet må siden på 27cm være hypotenusen.<p></p>
<math>(27cm)^2 = 729 cm^2</math> <p></p> må da være lik summen av kvadratene utspendt av eventuele kateter:<p></p>
<math>(20cm)^2 + (12cm)^2 = 544cm^2  </math> <p></p>
Hvilket betyr at trekanten IKKE er rettvinklet.<p></p>
b)
<p></p>Kaller det ukjente katetet for x og hypotenusen for y.<p></p>
<math>2+x+y = 6 \quad \wedge \quad 2^2 + x^2 = y^2 \\ x=4-y \quad \wedge \quad 4+ x^2 = y^2 \\ x = 4-y \quad \wedge \quad 4 + (4-y)^2 = y^2x = 4-y \quad \wedge \quad 4 + 16 - 8y + y^2 = y^2 \\ x = 4-y \quad \wedge \quad 8y = 20 \\ x = 1,5 \quad \wedge \quad y = 2,5</math><p></p>
c)
<p></p>
Motstående side til vinkelen på 120 grader kaller vi y. Den ukjente tilstøtende siden til vinkelen på 120 grader blir da 4-y. Cosinussetningen gir: <p></p>
<math>y^2 = 2^2 + (4-y)^2 - 2 \cdot 2 \cdot (4-y) \cdot cos120 \\ y^2 = 4 +16 -8y +y^2+8 -2y \\ 10y=28\\y=2,8</math><p></p>
Dvs: x = 1,2m og y = 2,8m

Siste sideversjon per 23. mai 2014 kl. 22:16

Løsning fra NDLA

Løsning fra Nebu

DEL 1

Oppgave 1

a)

<math> x+y=4 \wedge 3x - y =8</math>

<math>y=4-x \wedge 3x-4+x=8</math>

<math>y=4-x \wedge 4x=12</math>

<math>y=4-x \wedge x=3</math>

<math>y=1 \wedge x=3</math>

<math>x=3 \wedge y=1</math>


b)

1)

2)

<math>- \frac14x+2 =2x- \frac52</math>

<math>x+8 =8x- 10</math>

<math>- 9x = - 18</math>

<math>x = 2</math>


c)

<math>5,7 \cdot 10^4 + 3,0 \cdot 10^3 = 57000 + 3000 = 60000 = 6,0 \cdot 10^4</math>


d)

<math> \frac{3}{x+4} + \frac{24}{x^2-16} = \frac{3}{x+4} + \frac{24}{(x+4)(x-4)}= \frac{3 (x-4)}{(x+4)(x-4)} + \frac{24}{(x+4)(x-4)}= \\ \frac{3x-12}{(x+4)(x-4)} + \frac{24}{(x+4)(x-4)}= \frac{3x + 12}{(x+4)(x-4)} = \frac{3(x+4)}{(x+4)(x-4)}= \frac{3}{x-4}

</math>

e)

Bruker abc formelen og faktoriserer:

<math>x^2+2x-8 \geq 0 \\ (x+4)(x-2) \geq 0</math>

Tegner fortegnsskjema:

<math>x \in < \leftarrow, -4] \cup [2, \rightarrow ></math>

f)

g)

1)Sannsynlighet for å like begge:

<math>P(liker \quad begge) =\frac{16}{25}\cdot \frac{15}{24} = \frac{2}{5}\cdot \frac{3}{3} =\frac 25</math>

2) Sannsynligheten for bare å like en:

<math>P(liker \quad bare \quad en) = \frac{16}{25} \cdot \frac{9}{24} + \frac{9}{25} \cdot \frac{16}{24} = \frac{12}{25}</math>

Oppgave 2

a)

<math> f(x) = \frac 13x^3-^x^2 + 7 \\ f'(x) = x^2-2x \\ f'(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1</math>

b)

<math>f(0)= 7 \\ f(3) = 7</math>

Den gjennomsnittlige veksten fra x = 0 til x = 3 er null. Siden den momentane vekstfarten for x = 1 er -1 har funksjonen et minimumspunkt i intervallet.

c)

<math>f'(x) = 0 \\ x^2 - 2x = 0 \\ x(x-2) = 0 \\ x=0 \wedge x=2</math>

<math>f(0)= 7 \\ f(2) = \frac{17}{3} </math>

Sjekker forttegnet for den deriverte for x = -1 og x = 3 og finner at begge er positive. Fra før vet vi at den deriverte er negativ for x=1.

Maksimumspunkt: <math>(0, 7)</math>

Minimumspunkt:<math>(2, \frac{17}{3})</math>



DEL 2

Oppgave 3

a)


b)

Det vil finne sted når brøkeksponenten er en, altså etter 5730 år.

c)

<math>T(x) = 100 \cdot 0,5^{\frac{x}{5730}} \\ \Downarrow \\ 0,865 = 0,5^{\frac{x}{5730}} \\ \Downarrow \\ x = 5730 \cdot \frac{lg 0,865}{lg 0,5} = 1200

</math>

Brønnen var ca. 1200 år gammel.

Oppgave 4

a)

<math> tan(51,3^{\circ}) = \frac{h}{10m}\\ \Downarrow \\

x= 10 \cdot tan(51,3^{\circ})\\ \Downarrow \\ x = 12,48 m</math>

b)

<math> \frac{Sin (15,4 ^{\circ})}{40m} = \frac{Sin (94,9 ^{\circ})}{AB} \\ \Downarrow \\ AB = 150m </math>

c)

Finner først en vinkel ved å bruke cosinussetningen. Bruker så arealsetningen.

<math> 14^2 = 24^2 + 20^2 - 2 \cdot 20 \cdot 24 \cdot cos A \\ cos A = \frac{14^2-24^2-20^2}{-2 \cdot 20 \cdot 24}\\ A= 35,7^{\circ}</math>

Dette er vinkelen mellom sidene som er 24m og 20m. Arealet blir:

<math>A= \frac 12 \cdot 20m \cdot 24m \cdot sin 35,7^{\circ}= 140m^2</math>

Oppgave 5

a)

b)

<math>P(oensker \quad ballbinge) = \frac{130}{240} = 0,54 </math>

c)

<math> P(mann \quad gitt \quad oensker \quad ballbinge) = \frac{63}{130} = 0,48 </math>

d)

<math> \frac{130+x}{240 + x} = 0,75 \\ x = 200</math>

Det må verves 200 personer som ønsker ballbinge.

Oppgave 6

a)

Den faste månedsprisen er ca. 90 kroner, lest av graf.

Pris for 500 minutter er 340kr. Prisen per ringeminutt blir da:

<math>\frac{340kr - 90kr}{500min} = 0,50kr/min </math>

b)

c)

Dersom man ringer mindre enn 63 min. per måned er A billigst.

Dersom man ringer mellom 63 min. og 384 min. er B billigst.

Over 384 min. er C billigst

Oppgave 7

a)

Sannsynlighet for at alle er på Facebook: P(alle er på) = <math>(0,95)^{25} = 0,277 </math>

Det er 27,8% sannsynlighet for at alle er på.

b)

<math> P(flere \quad enn \quad 20)=P(X=21) +P(X=22) + P(X=23) +P(X=24)+P(X=25) = \\ \left ({25}\\{21} \right) 0,95^{21} \cdot 0,05^{4} + \left ({25}\\{22} \right) 0,95^{22} \cdot 0,05^{3} + \left ({25}\\{23} \right) 0,95^{23} \cdot 0,05^{2} + \left ({25}\\{24} \right) 0,95^{24} \cdot 0,05^{1} + \left ({25}\\{25} \right) 0,95^{25} \cdot 0,05^{0} = 0,992</math>

Det er 99,2% sannsynlig at mer enn 20 har profil på Facebook.

Oppgave 8

Alternativ 1

a)

<math> f(x) = -2x^2 + ax + 4 \\ f'(x) = -4x + a \\f'(x) = -4x + 2 \\ f'(x) = 0\\ -4x + 2 = 0 \\ x = \frac 12</math>

Toppunkt <math>( \frac 12,\quad f(\frac 12))</math> dvs. <math> (\frac12,\quad \frac 92)</math>

b)

<math>f'(-1) = 0 \Rightarrow -4(-1) + a = 0 \Rightarrow a=-4</math>

c)

Ser at funksjonen har konstantledd lik 4. Det betyr at grafen alltid går gjennom punktet (0,4) uansett x og a verdier. Den laveste verdi for toppunktet blir derfor når x = 0. Altså når det er symmetri om y aksen

<math>x= \frac a{-4} \Rightarrow 0 = \frac a{-4} \Rightarrow a=0</math>

dersom man bruker glider på a i Geogebra løser man både b og c ved inspeksjon.

Alternativ 2

a)

Bruker pytagoras: Desom trekanten er rettvinklet må siden på 27cm være hypotenusen.

<math>(27cm)^2 = 729 cm^2</math>

må da være lik summen av kvadratene utspendt av eventuele kateter:

<math>(20cm)^2 + (12cm)^2 = 544cm^2 </math>

Hvilket betyr at trekanten IKKE er rettvinklet.

b)

Kaller det ukjente katetet for x og hypotenusen for y.

<math>2+x+y = 6 \quad \wedge \quad 2^2 + x^2 = y^2 \\ x=4-y \quad \wedge \quad 4+ x^2 = y^2 \\ x = 4-y \quad \wedge \quad 4 + (4-y)^2 = y^2x = 4-y \quad \wedge \quad 4 + 16 - 8y + y^2 = y^2 \\ x = 4-y \quad \wedge \quad 8y = 20 \\ x = 1,5 \quad \wedge \quad y = 2,5</math>

c)

Motstående side til vinkelen på 120 grader kaller vi y. Den ukjente tilstøtende siden til vinkelen på 120 grader blir da 4-y. Cosinussetningen gir:

<math>y^2 = 2^2 + (4-y)^2 - 2 \cdot 2 \cdot (4-y) \cdot cos120 \\ y^2 = 4 +16 -8y +y^2+8 -2y \\ 10y=28\\y=2,8</math>

Dvs: x = 1,2m og y = 2,8m