R1 2010 vår LØSNING

Del 1

Oppgave 1

a)

1) <math>f(x)=x^3\ln(x) \\ f'(x)=(x^3)'\ln(x)+x^3(\ln(x))'=3x^2\ln(x)+x^3\frac{1}{x}=x^2(3\ln(x)+1)</math>

2) <math>g(x)=4e^{x^2-3x}\\ g'(x)=4(2x-3)e^{x^2-3x}</math>

b)

1) La <math>P(x)=x^3-4x^2-4x+16</math>. Da er <math>P(2)=2^3-4\cdot 2^2-4\cdot 2+16=8-16-8+16=0</math>, og <math>x-2</math> er en faktor i <math>P(x)</math>.

Polynomdivisjon gir at <math>x^3-4x^2-4x+16\,:\,x-2=x^2-2x-8 </math>.

Vi ser videre at <math>-2</math> er en rot i polynomet <math>x^2-2x-8</math>, så <math>x+2</math> er en faktor. Polynomdivisjon gir dermed at <math>x^2-2x-8\,:\, x+2=x-4</math>, så

<math>P(x)=(x-2)(x+2)(x-4)</math>

2) <math>P(x)\leq 0\Rightarrow (x-2)(x+2)(x-4)\leq 0</math>. P(x) har nullpunkter i <math>x=-2</math>, <math>x=2</math> og <math>x=4</math>, og skifter fortegn i disse punktene. Dersom <math>x<-2</math> er hver av de tre faktorene i <math>P(x)</math> negativ, og <math>P(x)<0</math>. Dersom <math>-2<x<2</math> er to av faktorene negative og <math>P(x)>0</math>. Dersom <math>2<x<4</math> er nøyaktig én faktor negativ, og <math>P(x)<0</math>. Dersom <math>x>4</math> er alle faktorene positive, og <math>P(x)>0</math>. Ulikheten <math>P(x)\leq 0</math> er følgelig tilfredsstilt for <math>x\leq -2</math> og <math>2\leq x\leq 4</math>.

c)

Per er fra Bergen <math>\Rightarrow</math> Per er fra Norge. (At Per er fra Norge behøver ikke bety at han er fra Bergen.)

d)

1) La <math>\vec{a}=[3,5]</math>. Vi dobler vektoren ved å multiplisere med <math>2</math>, og snur retningen ved å multiplisere med <math>-1</math>. Det følger at <math>\vec{b}=-2\cdot [3,5]=[-6,-10]</math>

2) For at <math>\vec{c}=[x,y]</math> skal stå normalt på <math>\vec{a}</math>, må <math>\vec{c}\cdot \vec{a}=[x,y]\cdot[3,5]=3x+5y=0</math>. Et naturlig valg er <math>x=5</math>, <math>y=-3</math>, så <math>\vec{c}=[5,-3]</math>.

e)

<math>4\cdot \left ( 1+\frac{x}{100}\right )^4=64\Rightarrow \left ( 1+\frac{x}{100}\right )^4=16=2^4\Rightarrow 1+\frac{x}{100}=\pm 2</math>. Altså er <math>x=100</math> eller <math>x=-300</math>.

f)

Slår sirkelperiferien med passer. Halver radius og fører lengden 3/2 radius ned på periferien, B. Konstruererer 45 grader i B og trekker opp trekanten.

Oppgave 2

a)

Vi har at <math>f'(x)=2(x+1)(x-3)</math>, så <math>f'(x)</math> har nullpunkt i <math>x=-1</math> og <math>x=3</math>. Dersom <math>x<-1</math> er <math>f'(x)>0</math> og <math>f(x)</math> vokser, dersom <math>-1<x<3</math> er <math>f'(x)<0</math> og <math>f(x)</math> avtar, og dersom <math>x>3</math> er <math>f'(x)>0</math> og <math>f(x)</math> vokser. <math>f(x)</math> har derfor toppunkt i <math>x=-1</math> og bunnpunkt i <math>x=3</math>.

b)

<math>f'(x)=2(x+1)(x-3)\Rightarrow f(x)=2(x-3)+2(x+1)=4x-4</math>. <math>f(x)</math> har vendepunkt der <math>f(x)=0</math>, altså i <math>x=1</math>

c)

Nullstiller vi den andrederiverte til <math>g(x)</math> får vi en lineær ligning som følgelig bare kan ha én løsning. Derfor kan funksjonen maksimalt ha ett vendepunkt. Vi har at <math>g(x)=a(x-c)+a(x-b)=a(2x-b-c)</math>. Førstekoordinaten til vendepunktet er løsning på ligningen <math>g(x)=a(2x-b-c)=0</math>, som er gitt ved <math>x=\frac{b+c}{2}</math>, altså midt mellom <math>b</math> og <math>c</math>, som også er midt mellom <math>x_{maks}</math> og <math>x_{min}</math> (siden <math>g(x)</math> har topp- og bunnpunkt i <math>x=b</math> og <math>x=c</math>, der den deriverte er <math>0</math>).

Del 2

Oppgave 3

a)

<math>{12\choose 5}=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=792</math>

b)

For hver av de sju resterende kampene er det to muligheter, altså blir det totalt <math>2^7=128</math> måter å fylle ut kupongen.

c)

Sannsynligheten for nøyaktig fem hjemmeseire blir <math>792\cdot (\frac{1}{3})^{5}\cdot (\frac{2}{3})^7\approx 0.19 </math>

Oppgave 4

a)

b)

<math>\vec{v}=\vec{r}'=[3t^2,1]</math> og <math>\vec{a}=\vec{v}'=[6t,0]</math>

c)

<math>\vec{v}(t)</math> er parallell med y-aksen der x-komponenten er <math>0</math>, altså der <math>3t^2=0</math>. Da er <math>t=0</math>, så punktet på kurven der hastighetsvektoren er parallell med y-aksen er i <math>(3,1)</math>

Oppgave 5

Alternativ I

a)

Tangenten har ligning <math>y=ax+b</math>. Siden den går gjennom punktet <math>(1,1)</math> må ligningen tilfredsstille <math>1=a+b</math>. Stigningstallet <math>a</math> må være det samme som stigningstallet til grafen til <math>f(x)=x^3</math> i <math>(1,1)</math>. <math>f'(x)=3x^2</math>, så <math>f'(1)=3</math>, og <math>a=f'(1)=3</math>. Videre er <math>1=a+b=3+b</math>, så <math>b=1-3=-2</math>. Ligningen til tangenten <math>T_1</math> er derfor <math>y=3x-2</math>.

b)

Punktet Q må tilfredsstille <math>y=f(x)</math>, altså <math>3x-2=x^3</math> som vi kan skrive <math>x^3-3x+2=0</math>. Siden vi kjenner én løsning fra før, <math>x=1</math>, må <math>x-1</math> være en faktor i polynomet <math>x^3-3x+2</math>. Polynomdivisjon gir at <math>x^3-3x+2\,:\,x-1=x^2+x-2</math>. Vi ser nå at <math>1</math> er en rot i <math>x^2+x-2</math>, så <math>x-1</math> er en faktor i <math>x^2+x-2</math>. Polynomdivisjon gir igjen at <math>x^2+x-2\,:\,x-1=x+2</math>. Altså er ligningen <math>x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)=0</math>, med løsninger <math>x=-2</math> og <math>x=1</math>

c)

Siden <math>T_1</math> og <math>T_2</math> er parallelle må de ha samme stigningstall. Altså må <math>f'(x)=3x^2=3</math> i tangeringspunktet, som har løsninger <math>x=\pm 1</math>. Tangeringspunktet mellom <math>T_2</math> og <math>f(x)</math> må derfor være i <math>(x,y)=(-1,-1)</math>

Alternativ II

a)

Siden <math>x</math> meter av ledningen brukes på trekanten, er det <math>10-x</math> tilovers til kvadratet. Siden alle sidene i kvadratet er like lange er hver side <math>\frac{10-x}{4}</math>, så arealet er <math>F_1(x)=(\frac{10-x}{4})^2=\frac{1}{16}(10-x)^2</math>

b)

Vi trekker en normal ned fra toppen av trekanten ned på grunnlinja, som blir høyden <math>h</math>. Pytagoras gir at <math>h^2+(\frac{x}{6})^2=(\frac{x}{3})^2</math>, så <math>h=\sqrt{\frac{1}{9}x^2-\frac{1}{36} x^2}=\sqrt{\frac{3}{36}x^2}=\frac{\sqrt{3}x}{6}</math>. Arealet av trekanten blir dermed <math>F_2(x)=\frac{hx}{6}=\frac{\sqrt{3}}{36}x^2</math>

c)

La <math>F(x)=F_1(x)+F_2(x)=\frac{1}{16}(10-x)^2+\frac{\sqrt{3}}{36}x^2</math>, der <math>0\leq x\leq 10</math>. <math>F'(x)=-\frac{1}{8}(10-x)+\frac{\sqrt{3}x}{18}=0</math> gir at <math>x=\frac{5}{\frac{1}{2}+\frac{2\sqrt{3}}{9}}\approx 5.65</math>. Siden den andrederiverte er positiv, må dette være et bunnpunkt, så ledningen må kuttes slik at <math>x\approx 5.65</math>

Oppgave 6

a)

Siden <math>\triangle ASD</math> er likebeint, er <math>\angle SAD=\angle ASD =x</math>

b)

<math>SD=SC=r</math> så <math>\triangle SDC</math> er likebeint og <math>\angle SDC=\angle SCD</math>. <math>\angle SDA=\pi-2x</math> og <math>\angle SDC =\pi-\angle SDA=\pi-(\pi-2x)=2x</math>

c)

<math>\angle CSD = \pi-4x=\pi-(x+y)</math>, så <math>x+y=4x\Leftrightarrow y=3x</math>

Oppgave 7

a)

<math>n=1:</math> <math>4^1-1=3</math>

<math>n=2:</math> <math>4^2-1=15=3\cdot 5</math>

<math>n=3:</math> <math>4^3-1=63=3\cdot 21</math>

<math>n=4:</math> <math>4^4-1=255=3\cdot 85</math>

b)

<math>(2^n-1)(2^n+1)=(2^n)^2+2^n-2^n-1=(2^2)^n-1=4^n-1</math>

c)

Dersom <math>n</math> er et naturlig tall er <math>2^n</math> et heltall, og <math>2^n-1</math> og <math>2^n+1</math> er de nærmeste heltallene. Blant tre påfølgende heltall vil det alltid være ett som er delelig med <math>3</math>: Tallene som er delelig med <math>3</math> er på formen <math>\{3k|k\in\mathbb{N}\}=\{0,3,6,9,12,15,...\}</math>.

<math>2^n</math> er aldri delelig med <math>3</math> siden eneste primfaktor er <math>2</math>.

d)

Fra c) må enten <math>2^n-1</math> eller <math>2^n+1</math> være delelig med <math>3</math> for alle naturlige tall. Siden <math>4^n-1=(2^n-1)(2^n+1)</math> må <math>4^n-1</math> alltid være delelig med 3.