Kongruensregning: Forskjell mellom sideversjoner

Siste sideversjon per 6. aug. 2024 kl. 12:45

Introduksjon til kongruenser

Anta at alle størrelser er heltall med mindre annet er spesifisert.

Gitt <math>a</math> og <math>b</math> vet vi at det finnes unike <math>s,r</math> slik at

Vi kan gi dette notasjonen

<math>a\equiv r \,(\text{mod}\,b)</math>

(les: <math>a</math> er kongruent med <math>r</math> modulo <math>b</math>) eller ganske enkelt

<math>a\equiv r</math>

dersom <math>\,(\text{mod}\,b)</math> er inneforstått.

Elementære egenskaper

For det første er det åpenbart at hvis <math>a=c+bd</math>, så er <math>a\equiv c \,(\text{mod}\,b)</math>. Følgelig har vi at

i) Refleksiv egenskap: <math>a\equiv a</math>

ii) Symmetrisk egenskap: <math>a\equiv c</math> hvis og bare hvis <math>c\equiv a</math>

iii) Transitiv egenskap: Hvis <math>a\equiv c</math> og <math>c\equiv e</math>, så må <math>a\equiv e</math>

<embedvideo> service="https://www.youtube.com/watch?v=6kQpwp6SC8I&list=PLU9Gs7tAVUEWCM-d20Hg0qKY00Wq_okNF&index=52" </embedvideo>

Følgelig er kongruens en ekvivalensrelasjon

@@ Linje 3: / Linje 3: @@
 Anta at alle størrelser er heltall med mindre annet er spesifisert.
-Gitt <tex>a</tex> og <tex>b</tex> vet vi at det finnes unike <tex>s,r</tex> slik at
+Gitt <math>a</math> og <math>b</math> vet vi at det finnes unike <math>s,r</math> slik at
-<tex>a=bs+r</tex>
+<math>a=bs+r</math>
 Vi kan gi dette notasjonen
-<tex>a\equiv r \,(\text{mod}\,b)</tex>
+<math>a\equiv r \,(\text{mod}\,b)</math>
-(les: <tex>a</tex> er kongruent med <tex>r</tex> modulo <tex>b</tex>) eller ganske enkelt
+(les: <math>a</math> er kongruent med <math>r</math> modulo <math>b</math>) eller ganske enkelt
-<tex>a\equiv r</tex>
+<math>a\equiv r</math>
-dersom <tex>\,(\text{mod}\,b)</tex> er inneforstått.
+dersom <math>\,(\text{mod}\,b)</math> er inneforstått.
 ===Elementære egenskaper===
-For det første er det åpenbart at hvis <tex>a=c+bd</tex>, så er <tex>a\equiv c \,(\text{mod}\,b)</tex>. Følgelig har vi at
+For det første er det åpenbart at hvis <math>a=c+bd</math>, så er <math>a\equiv c \,(\text{mod}\,b)</math>. Følgelig har vi at
-: i) <tex>a\equiv a</tex>
+: i)   Refleksiv egenskap: <math>a\equiv a</math>
-: ii) <tex>a\equiv c</tex> hvis og bare hvis <tex>c\equiv a</tex>
+: ii)  Symmetrisk egenskap: <math>a\equiv c</math> hvis og bare hvis <math>c\equiv a</math>
+: iii) Transitiv egenskap: Hvis <math>a\equiv c</math> og <math>c\equiv e</math>, så må <math>a\equiv e</math>
+<embedvideo> service="https://www.youtube.com/watch?v=6kQpwp6SC8I&list=PLU9Gs7tAVUEWCM-d20Hg0qKY00Wq_okNF&index=52" </embedvideo>
-: iii) Hvis <tex>a\equiv c</tex> og <tex>c\equiv e</tex>, så må <tex>a\equiv e</tex>
 Følgelig er kongruens en [[relasjoner#Ekvivalensrelasjoner|ekvivalensrelasjon]]
 ==Regning med kongruenser==