Gruppeteori

Gruppeteori er en gren av Algebra og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.

Definisjon

La <math>G</math> være en ikketom mengde med <math>a,b,c\in G</math> og med en definert operasjon <math>*</math>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:

1. <math>a*b\in G</math> (Lukkethet under multiplikasjon)

2. <math>(a*b)*c=a*(b*c)</math> (Assosiativitet)

3. <math>\exists e \in G</math> slik at <math>e*a=a*e=a</math> (Eksistens av identitetselement)

4. <math>\exists a^{-1} \forall a</math> slik at <math>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</math> (Eksistens av inverser)

5. <math>a*b=b*a</math>

En gruppe <math>G</math> med operasjon <math>*</math> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <math>(G,*)</math>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <math>G</math>, og la operasjonen være implisert.

For en <math>a\in G</math> kan vi innføre forkortelsen <math>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</math>. Tilsvarende innfører vi <math>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</math>. Dermed oppnår vi sammenhengene

1. <math>a^n*a^m=a^{n+m}</math>

2. <math>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</math>

3. <math>a^0 = e</math>

Eksempel 1

Heltallene <math>\mathbb{Z}</math> med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved <math>e=0</math> og inverser ved <math>a^{-1}=-a</math>.

Lignende eksempler er de rasjonale tallene <math>\mathbb{Q}</math>, de reelle tallene <math>\mathbb{R}</math> og de komplekse tallene <math>\mathbb{C}</math>.

Er <math>\mathbb{R}</math> en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av <math>\mathbb{R}</math> som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for <math>\mathbb{Q}</math>, <math>\mathbb{C}</math> og <math>\mathbb{Z}</math>.

Eksempel 2

La <math>X</math> være en mengde, og la <math>B(X)</math> være en ikketom samling av undermengder av <math>X</math>. For <math>U,V\in B(X)</math>, definer

<math>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</math>

definer så

<math>U*V=(U-V)\cup (V-U)</math>

kalt den symmetriske differansen av <math>U</math> og <math>V</math>.

Da er <math>(B(X),*)</math> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er <math>e=\emptyset</math> og <math>U^{-1}=U</math> for alle <math>U\in B(X)</math>.

Vi overlater til leseren å vise assosiativitet.

Elementære resultater

Forkortningslov

Anta at <math>a*b=a*c</math> eller <math>b*a=c*a</math>. Da er <math>b=c</math>

Bevis: <math>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</math>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.

Identitetselementet er unikt

Anta at <math>e_1</math> og <math>e_2</math> er identitetselementer. Da har vi <math>e_1=e_1*e_2=e_2</math> .

Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <math>b</math> slik at <math>a*b=a</math> for en <math>a</math>, så er <math>b=e</math>.

Inverser er unike

Anta at <math>a*b=e</math>. Da er <math>b=a^{-1}</math>. Anta at <math>c*a=e</math>. Da er <math>c=a^{-1}</math> og dermed er inverser unike.

Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.

Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte

For elementer <math>a_1, a_2,..., a_n</math> er verdien av produktet <math>a_1*a_2*...*a_n</math> veldefinert.

Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <math>n</math>.

Undergrupper

La <math>(G,*)</math> være en gruppe, og la <math>H</math> være en ikketom undermengde av <math>G</math>, notert <math>H\subset G</math>. Da kalles <math>(H,*)</math> en undergruppe av <math>(G,*)</math> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <math>G</math>, notert ved <math>H\leq G</math>.

To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <math>H</math> er en ikketriviell undergruppe av <math>G</math> skriver vi <math>H<G</math>.

Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper

De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <math>e</math> må være et medlem i <math>H</math>, og for hvert element i <math>H</math>, må inversen også være et medlem.

Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <math>H</math> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <math>a,b \in H</math>, så er <math>a*b^{-1}\in H</math>.

Ettersom <math>H</math> ikke er tom, må det finnes et element <math>a\in H</math>. Dermed har vi at <math>a*a^{-1}=e\in H</math>, <math>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</math>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <math>b\in H</math>, har vi <math>b^{-1}\in H</math>, så <math>a*b \in H</math> og <math>H</math> er dermed lukket.

Orden

Ordenen til en gruppe <math>G</math> defineres som kardinaliteten til mengden <math>G</math>, notert <math>o(G)</math>. Hvis vi antar at <math>a \in G</math> og lar <math>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</math>, vil <math>H</math> være en abelsk undergruppe av <math>G</math>, og vi kaller da <math>H</math> undergruppen av <math>G</math> generert av <math>a</math> og skriver <math>H=\<a\></math>. Vi kan da definere ordenen til et element <math>a\in G</math> som ordenen av undergruppen generert av <math>a</math>, det vil si <math>o(a)\equiv o(H)</math>. Merk at <math>a</math> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <math>n\in \mathbb{N}</math> slik at <math>a^n=e</math>, og <math>o(a)</math> er da den minste slike <math>n</math>.

Sykliske grupper

En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <math>(\mathbb{Z},+)</math> generert av <math>1</math>.

Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <math>G</math> er generert av <math>a</math>, at <math>H<G</math> og at <math>m</math> er det minste positive heltallet slik at <math>a^m\in H</math>. Anta så at det finnes et annet element <math>a^n\in H</math> med <math>m<n</math>. Hvis <math>m</math> ikke deler <math>n</math>, kan ikke <math>m</math> være det minste positive heltallet slik at <math>a^m\in H</math>, ettersom <math>a^{n-m}\in H</math> og <math>0<n-m<m</math>. Altså må <math>m</math> dele <math>n</math>. Dermed er <math>H</math> generert av <math>a^m</math> og er dermed syklisk.

Sideklasser

La <math>H<G</math>, og se på relasjonen <math>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</math>. Dette er en ekvivalensrelasjon på mengden <math>G</math>. Ekvivalensklassene er gitt ved

<math>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </math>

For å se dette, merk at <math>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</math>.

Mengden <math>\{h*a \,|\, h\in H\}</math> noteres <math>Ha</math> og kalles en høyre sideklasse til <math>H</math>

Alternativt kan vi la <math>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</math>. Ekvivalensklassene blir da

<math>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</math>

som kalles en venste sideklasse til <math>H</math>.

Ettersom <math>\sim</math> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:

1. <math>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</math>

2. <math>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</math>

3. <math>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</math>

4. <math>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</math>

5. Mengden av høyre sideklasser av <math>H</math> partisjonerer <math>G</math>.

6. <math>a</math> og <math>b</math> tilhører samme sideklasse kun hvis <math>a*b^{-1}\in H</math>.

Lagranges Teorem

La <math>a\in G</math>. Da er funksjonen <math>f:H\rightarrow Ha</math> gitt ved <math>f(h)=a*h</math> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <math>H</math> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.

Lagranges teorem sier at dersom <math>H\leq G</math> og <math>o(G)<\infty</math>, så er <math>o(H)</math> en divisor til <math>o(G)</math>.

Beviset er elementært når vi vet at <math>o(H)=o(Ha)=o(aH)</math> for alle <math>a\in G</math>. Vi vet at sideklassene til <math>H</math> partisjonerer <math>G</math>. Anta derfor at

<math>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</math>

da følger det at

<math>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</math>

som beviser teoremet.

Indeksen til en undergruppe <math>H\leq G</math> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <math>H</math> i <math>G</math> og noteres som <math>[G:H]</math>.

For å se at <math>H</math> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <math>f(H*a)=a^{-1}*H</math>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.

Verdien til <math>[G:H]</math> er lik tallet <math>t</math> i beviset av Lagranges teorem over, slik at

<math>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</math>

eller

<math>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</math>

Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:

1. Hvis <math>o(G)<\infty</math> og <math>a\in G</math>, så er <math>o(a)</math> en divisor til <math>o(G)</math>.

2. Hvis <math>o(G)<\infty</math>, så er <math>a^{o(G)}=e</math> for alle <math>a\in G</math>.

3. La <math>p</math> være et primtall. Da er alle grupper med orden <math>p</math> sykliske.

Normale undergrupper og kvotientgrupper

La <math>H\leq G</math>. Da er følgende utsagn ekvivalente.

1. Hvis <math>a\in G</math>, så er <math>aHa^{-1}=H</math>

2. Hvis <math>a\in G</math>, så er <math>aHa^{-1}\subset H</math>

3. Hvis <math>a\in G</math>, så er <math>aH=Ha</math>

4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.

En undergruppe <math>H</math> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <math>G</math>.

For enhver gruppe <math>G</math> er <math>G</math> selv og <math>\{e\}</math> normale undergrupper. Hvis <math>G</math> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.

Kvotientgrupper

Hvis <math>N\leq G</math> er en normal undegruppe, kan vi definere en gruppestruktur på sideklassene til <math>N</math> på følgende måte.

La <math>G/N</math> være mengden av alle sideklasser til <math>N</math>. Dersom <math>S_1=Na</math> og <math>S_2=Nb</math>, definer produktet <math>S_1*S_2 = (Na)*(Nb)=N(a*b)</math>. Denne operasjonen en veldefinert. Identiteten er <math>N</math> og inverser er gitt ved <math>(Na)^{-1}=Na^{-1}</math>. Dersom <math>o(G)<\infty</math>, har vi i tillegg at <math>o(G/N)=\frac{o(G)}{o(N)}</math>.

Homomorfier

La <math>(G,*)</math> og <math>(H,\cdot )</math> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <math>G</math> til <math>H</math> er en transformasjon

<math>\phi \,:\, G \rightarrow H</math>

som bevarer gruppestrukturen, dvs.

<math>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</math>

La <math>G</math> og <math>H</math> ha identitetselementer <math>e</math> og <math>\bar{e}</math>. Definer kjernen til en homomorfi som

<math>\tex{ker}(\phi)=\{a\in G \,:\, \phi(a)=\bar{e}\}=\phi^{-1}(\bar{e})</math>

De følgende utsagnene følger direkte fra definisjonen av homomorfier.

1. <math>\phi(e)=\bar{e}</math>

2. <math>\phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1}</math>

3. Dersom <math>A</math> er en undergruppe av <math>G</math>, er <math>\phi(A)</math> en undergruppe av <math>H</math>. Det følger at <math>R(\phi)=\{\phi(a)\,:\,a\in G\}</math> er en undergruppe av <math>H</math>.

4. Dersom <math>B</math> er en undergruppe av B, er <math>\phi^{-1}(B)</math> en undergruppe av <math>G</math>

5. Dersom <math>\phi</math> er injektiv, er <math>\text{ker}(\phi)=\{e\}</math>

6. <math>\text{ker}(\phi)</math> er en normal undergruppe til <math>G</math>

7. Dersom <math>h\in H</math>, er <math>\phi^{-1}(h)</math> en sideklasse av <math>\text{ker}(\phi)</math>

8. Komposisjonen av to homomorfier <math>\phi_1 \,:\, G\rightarrow H</math> og <math>\phi_2\,:\, H\rightarrow K</math> er en ny homomorfi <math>\phi_2\circ\phi_1 \,:\, G\rightarrow K</math>

9. Dersom <math>\phi</math> er en bijeksjon, er <math>\phi^{-1}\,:\, H\to G</math> en homomorfi, og <math>\phi</math> kalles da en isomorfi og vi skriver <math>G\simeq H</math>. Hvis <math>G=H</math> kalles <math>\phi</math> en automorfi.

10. La <math>\phi</math> være en isomorfi. Da er:

i) <math>A\leq G</math> hvis og bare hvis <math>\phi(A)\leq H</math>

ii) <math>A\leq G</math> er en normal undergruppe hvis og bare hvis <math>f(A)\leq H</math> er en normal undergruppe.

iii) <math>G</math> er syklisk hvis og bare hvis <math>H</math> er syklisk.

Det første isomorfiteoremet

Anta at <math>N\leq G</math> er en normal undergruppe. Da er

<math>\pi\,:\, G \rightarrow G/N</math>

definert ved <math>\pi(a)=Ha</math> en surjektiv homomorfi med kjerne <math>\text{ker}(\pi)=N</math>.

Hvis i tillegg <math>\phi\,:\, G\rightarrow H</math> er en surjektiv homomorfi med kjerne <math>N</math>, har vi <math>G\simeq H</math>.

Bevis:

Ettersom <math>\phi</math> har kjerne <math>N</math> vil førbildet av enhver <math>h\in H</math> være et sideklasse av <math>N</math>:

<math>\phi^{-1}(h)=Ng</math> for en <math>g\in G</math>.

Anta at <math>h_1,h_2\in H</math> og <math>\phi^{-1}(h_1)=\phi^{-1}(h_2)=Ng</math>. Da har vi at <math>h_1=\phi\left(\phi^{-1}(h_1)\right)=\phi\left(\phi^{-1}(h_2)\right)=h_2</math>, så <math>\pi\circ \phi^{-1}</math> er en injektiv homomorfi fra <math>H</math> til <math>G/N</math>.

Anta videre at <math>Ng\in G/N</math>. Ettersom <math>\phi</math> er en surjektiv homomorfi, vil det finnes en <math>h\in H</math> slik at <math>\phi(g)=h</math>, og dermed er <math>\pi\circ \phi^{-1}(h)=Ng</math>, altså er <math>\pi\circ \phi^{-1}</math> en surjektiv homomorfi.

Ettersom <math>\pi\circ\phi^{-1}:H\rightarrow G/N</math> er både injektiv og surjektiv, er den en isomorfi, og dermed har vi at <math>H\simeq G/N</math> som skulle bevises.

Generellt gjelder det at dersom <math>\phi:G\rightarrow H</math> er en homomorfi, så er <math>G/\ker(\phi)\simeq R(\phi)</math>

Senteret til en gruppe

Se på funksjonen <math>\phi(a)=\varphi_a\,:\,G\rightarrow G</math> slik at <math>\varphi_a(g)=aga^{-1}</math> for alle <math>a,g\in G</math>

Da er <math>\varphi_a</math> en isomorfi fra <math>G</math> til seg selv, kalt en automorfi. En automorfi av typen <math>\varphi_a</math> kalles en indre automorfi, og gruppen av alle indre automorfier på <math>G</math> (Vis at denne faktisk er en gruppe) noteres <math>\text{Inn}(G)</math>.

Dermed er <math>\phi</math> en homomorfi fra <math>G</math> til <math>\text{Inn}(G)</math>.

Kjernen til <math>\phi</math> er gitt ved <math>Z_G=\{a\in G \,:\, ag=ga \,\forall\,g\in G\} </math>, altså de elementer som kommuterer med alle andre elementer i <math>G</math>. Dette er en normal undergruppe til <math>G</math> og kalles senteret til <math>G</math>.

Ved det første isomorfiteoremet har vi dermed at <math>G/Z(G) \simeq \text{Inn}(G)</math>.

Dersom <math>G/Z(G)</math> er syklisk, er <math>G</math> en abelsk gruppe, og dermed er <math>G=Z(G)</math> og <math>G/Z(G)</math> er triviell.

Ytre produkter av grupper

La <math>G</math> og <math>G</math> være grupper. Da kan vi definere produktet av gruppene som mengden med ordnede par <math>G\times H=\{(g,h)\,:\, g\in G\, \wedge \, h\in H\}</math>

Med operasjonen <math>*</math> definert slik at <math>(g_1,h_1)*(g_2,h_2)=(g_1*g_2,h_1*h_2)</math>, der <math>g</math>. ene multipliseres i <math>G</math> osv, blir dette en gruppe.

Undergrupper

Hvis <math>G\times H</math> er et produkt av grupper, så er <math>A\times B</math>, der <math>A\leq G</math> og <math>B\leq H</math> en undergruppe. Alle undergruppene til <math>G\times H</math> kan skrives på denne formen.

Spesiellt har vi de normale undergruppene <math>G\times \{\bar{e}\}</math> og <math>\{e\}\times H</math>, som er isomorfe til henholdsvis <math>G</math> og <math>H</math>. Dermed er både <math>G</math> og <math>H</math> normale undergrupper til <math>G\times H</math>.

Definer projeksjonshomomorfien <math>\pi_G ((g,h))=(g,\bar{e})</math> for alle <math>g\in G\,,\, h\in H</math>. Da har <math>\pi_G</math> kjerne <math>\{e\}\times H\simeq H</math> og verdimengde <math>G\times \{\bar{e}\} \simeq G</math>, så ved det første isomorfiteoremet har vi at <math>\frac{G\times H}{H}\simeq G</math>, og på samme måte at <math>\frac{G\times H}{G}\simeq H</math>, noe man skulle forvente.

Gruppen (Z,+)

I denne seksjonen vil vi studere spesiellt nøye gruppen av heltall under addisjon, og ta i bruk alt fra tidligere seksjoner.

Vi vil studere <math>(Z,+)</math>, som heretter noteres som <math>Z</math>.

Akkurat som vi for generelle grupper noterte <math>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n\text{ elementer}}</math> vil vi her notere <math>na=\underbrace{a+a+\,...\,+a}_{n\text{ elementer}}</math>

Undergrupper og kvotienter

For det første er denne gruppen abelsk, så enhver undergruppe er normal.

Vi kan notere ved <math>nZ</math> undergruppen av <math>Z</math> bestående av tall som er delelige på <math>n</math>. Homomorfien som definerer den er

<math>m_n(a)=na</math> der <math>a,n\in Z</math>.

Et teorem i tallteori sier at enhver undergruppe av <math>Z</math> er på denne formen.

For å se dette, anta at <math>a</math> er det minste positive elementet i <math>G < Z</math>, og at det finnes et element <math>b\in G</math> slik at <math>b>a</math>. Da kan <math>b</math> skrives unikt på formen <math>b=as+r</math>, der <math>r,s\in Z</math> og <math>0\leq r < |a|</math>. Antagelsken er at <math>r\neq 0</math>, men ettersom <math>G</math> er lukket under addisjon, betyr dette at <math>b-as=r\in G</math>, som er en motsigelse fordi <math>a</math> er det minste positive elementet i <math>Z</math>. Altså må <math>r=0</math> og <math>G=aZ</math>.

Sideklassene til <math>nZ</math> blir altså på formen <math>b+nZ</math> der <math>b\in [0,n-1]\subset Z</math>.