Bokstavuttrykk: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Ingen redigeringsforklaring
m Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»
 
(61 mellomliggende versjoner av 3 brukere er ikke vist)
Linje 1: Linje 1:
== Innledning ==
Algebra, eller bokstavregning, viser generelle sammenhenger. Tallregning eller aritmetikk gir oss mer spesielle sammenhenger.
Algebra, eller bokstavregning, viser generelle sammenhenger. Tallregning eller aritmetikk gir oss mer spesielle sammenhenger.
 
<br>
Eksempel 1
Eksempel:
En sirkel har radius 10 cm. Hva er arealet av sirkelen?
En sirkel har radius 10 cm. Hva er arealet av sirkelen?
<br>
Arealet blir:<br>
<math>A = 10cm \cdot 10cm \cdot {\pi} =314,2 cm^2.</math>
<br>
Men, det gjelder bare når radius i sirkelen er 10 cm. For alle andre radier er dette arealet feil.
<br>


Arealet blir: A= 10cm • 10cm • π =314,2 cm2. Men, det gjelder bare når radius i sirkelen er 10 cm. For alle andre radier er dette arealet feil.
Et areal som gjelder for en sirkel, uansett radius:<br>
<math>A = {\pi}r^2</math>
<br>
Man kan sette inn den verdi man ønsker for radien r og derved få arealet A for en hvilket som helst radius.<br>
Bokstaver gir en formel som er allmenngyldig mens aritmetikken (tallregning)fokuserer på en eller flere spesielle tallverdier.


Et areal som gjelder for alle radier er:
== Ledd ==


Se på uttrykket
Se på uttrykket
<tex>2\cdot x + 4 \cdot a \cdot b - 1 </tex>
<math>a + b + 4</math>


Uttrykket består av tre
Uttrykket består av tre ledd


== Ledd ==
Et ledd er en verdi i et regnestykke som er adskilt fra resten med et pluss eller minus.De tre leddene er 2x, 4ab og -1.


Et ledd er en verdi i et regnestykke som er adskilt fra resten med et pluss eller minus.De tre leddene er a,b og 4
<math>10a^2 + 2b + 2 \cdot 2</math><br>
er også et uttrykk som består av tre ledd der hvert av leddene er produkter av to eller flere faktorer.
== Produkt ==


Bokstaver gir en formel som er allmenngyldig mens aritmetikken (tallregning)fokuserer på en eller flere spesielle tallverdier.


Av og til skrives ikke multiplikasjonstegnet mellom faktorene; a•b skrive ofte som ab og g•(h+f) skrives gjerne som g(h+f). Selv om man ikke skriver multiplikasjonstegnet er det der allikevel.
Av og til skrives ikke multiplikasjonstegnet mellom faktorene; a•b skrive ofte som ab og g•(h+f) skrives gjerne som g(h+f). Selv om man ikke skriver multiplikasjonstegnet er det der allikevel.
Linje 25: Linje 39:
Alle regneregler du kjenner fra tallregning gjelder også for algebra. La oss se på noen regler:
Alle regneregler du kjenner fra tallregning gjelder også for algebra. La oss se på noen regler:


Regneregler:


== Regneregler ==
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
Kommutativ lov:<p></p>
<math>a + b = b + a </math>
</blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
Assosiativ lov: <p></p>
<math>(a + b) + c = a + (b + c)</math>
</blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
Kommutativ lov:<p></p>
<math>a \cdot b = b \cdot a </math>
</blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
<math>a + a = 2a </math>
</blockquote>
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85F%2B860%2B861%2B862%2B863%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
== Kvadratsetningene ==
De neste tre setningen kalles for kvadratsetningene.
=== Første kvadratsetning ===
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
<math>(a+b)^2 = (a+b)(a+b)= a^2+2ab+b^2 </math>
</blockquote>
[[Bilde:Forste.png]]
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
'''Eksempel:''' <br>
<math>(3x+y)^2 = (3x+y)(3x+y)= 9x^2 + 6xy + y^2 </math>
</blockquote>
Det er nyttig å kunne regne ut kvadratet på denne måten når du skal forenkle utrykke ved å trekke sammen ledd. Man må også beherske kvadratsetningene andre veien, det er nødvendig ved forkorting av brøker. For å kunne forkorte et utrykk må det være på faktorform. Dette krever litt trening i å "se" hva produktet blir.
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
'''Eksempel:''' <br>
<math> 16a^2 + 24ab + 3b = (4a + 3b)^2</math>
</blockquote>
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85F%2B860%2B861%2B862%2B863%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
=== Andre kvadratsetning ===
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
<math>(a - b)^2 = (a - b)(a-b)= a^2-2ab+b^2 </math>
</blockquote>
[[Bilde:Andre.png]]
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
'''Eksempel:''' <br>
<math>(3x-y)^2 = (3x-y)(3x-y)= 9x^2 - 6xy + y^2 </math>
</blockquote>
Det er nyttig å kunne regne ut kvadratet på denne måten når du skal forenkle utrykke ved å trekke sammen ledd. Man må også beherske kvadratsetningene andre veien, det er nødvendig ved forkorting av brøker. For å kunne forkorte et utrykk må det være på faktorform. Dette krever litt trening i å "se" hva produktet blir.


Kvadratsetningene
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
'''Eksempel:''' <br>


De første fire setningene kjenner du forhåpentlig igjen fra tallregningen. De neste tre setningen kalles for kvadratsetningene. Nr. (7) kalles av og til for tredje kvadratsetning, den er også kjent under navnet konjugatsetningen.
<math> 16a^2 - 24ab + 9b^2 = (4a - 3b)^2</math>


Kvadratsetningene:


</blockquote>


Nr. (6) er andre kvadratsetning og nr. (5) er første kvadratsetning som også er illustrert grafisk nedenfor.


[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85F%2B860%2B861%2B862%2B863%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


=== Konjugatsetningen ===
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">


Disse syv setningene bør du lære deg utenat, begge veier. Årsaken til det er at du er avhengig av å gjenkjenne utrykk som en eller flere av disse sammenhengene.
<math>(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 </math>


Eksempler
</blockquote>


Fra tallregningen er vi vant med at svaret blir et tall bestående av et eller flere siffer. Det ser veldig pent ut.


I algebra blir gjerne svaret flere bokstaver, ledd, produkter og brøk. Dette er helt ok. og Ikke noe å bekymre seg over.  
[[Bilde:Tredje.png]]


Eksempel 2:
Forkort uttrykket:


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">


<math>(5 + 2x)(5 - 2x) = 5^2 - 10x + 10x - 4x^2 = 25-4x^2  </math>


Vi ser at (x-1) er en faktor i både teller og nevner, derfor kan vi forkorte den bort. Det blir imidlertid stående en igjen. Det er bare når vi har faktorer at vi kan forkorte. Dersom vi har et ledd kan vi ikke forkorte, selv om leddet er en del av en faktor. (Vi kan selvfølgelig forkorte hele faktoren dersom det er mulig.)
</blockquote>


Hvilket av de to svarene vi velger avhenger av smak og behag og hva vi skal bruke resultatet til. Begge bør bli godtatt.


Eksempel 3:  
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
Skriv enklest mulig:


<math>9x^2 - 36y^2 = (3x+6y)(3x-6y)  </math>


</blockquote>


Husk at når du forkorter blir det alltid en igjen. Selv om vi har forkortet bort tre u'er i teller og nevner står vi fortsatt igjen med en i teller
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85F%2B860%2B861%2B862%2B863%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


Eksempel 4:
== Forkorting av brøkuttrykk ==
Skriv enklest mulig:




<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
Eksempel:<br>
<math> \frac {a^2}{ab}=\frac {a \cdot a }{a \cdot b} = \frac ab</math>
</blockquote>


Av og til må man bare akseptere at utrykket ikke kan forkortes. Da er det bare å sette to streker under svaret. Det kunne jo være fristende å prøve å forkorte a'ene, men det er ikke mulig da a'ene i teller ikke er en faktor, men et ledd.
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
<math> \frac {a^2}{a^3}</math>
</blockquote>


Eksempel 5:  
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
Skriv enklest mulig:
<math> \frac {b}{b}</math>
</blockquote>


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
<math> \frac {(x+2)(x-2)}{(x+2)x}= \frac {(x+2)(x-2)}{(x+2)x}=</math>
</blockquote>




Vi skal prøv å forenkle utrykket. Det ser jo ikke spesielt lovende ut her.. Vel, hovedregelen når vi skal forenkle brøkuttrykk er å tenke faktorisering. Vi ser at telleren er andre kvadratsetning og kan skrives som (w - 3)(w - 3). I nevner ser vi at tallet to kan settes utenfor en parentes. Utrykket i parentesen gjenkjenner vi som konjugatsetningen. Vi får:
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
<math> \frac {x^2 - 6x + 9}{2x^2 - 18}= \frac {(x-3)^2}{2(x+3)(x-3)}=</math>
</blockquote>






Eksempel 6:
Trekk sammen og skriv enklest mulig:




Regelen er at vi multipliserer ut alle parentesene først. Deretter samler vi andregradsleddene for seg, førstegradsleddene for seg og tallene for seg. Dette er enkelt nok, men tidkrevende. Vær forsiktig, det er lett å gjøre fortegnsfeil her!


Eksempel 7:
Skriv enklest mulig:






Først finner vi fellesnevner. Sett utrykket på felles brøkstrek. Multipliser ut i teller og trekk sammen. La nevner stå faktorisert. Når teller er regnet ut faktoriseres den. Forkort det som er mulig, i dette tilfellet 2•2.


[[Kategori:Algebra]] [[Kategori:1T]][[Kategori:2P]]
[[Kategori:Algebra]] [[Kategori:1T]][[Kategori:2P]]

Siste sideversjon per 5. feb. 2013 kl. 20:58

Innledning

Algebra, eller bokstavregning, viser generelle sammenhenger. Tallregning eller aritmetikk gir oss mer spesielle sammenhenger.
Eksempel: En sirkel har radius 10 cm. Hva er arealet av sirkelen?
Arealet blir:
<math>A = 10cm \cdot 10cm \cdot {\pi} =314,2 cm^2.</math>
Men, det gjelder bare når radius i sirkelen er 10 cm. For alle andre radier er dette arealet feil.

Et areal som gjelder for en sirkel, uansett radius:
<math>A = {\pi}r^2</math>
Man kan sette inn den verdi man ønsker for radien r og derved få arealet A for en hvilket som helst radius.
Bokstaver gir en formel som er allmenngyldig mens aritmetikken (tallregning)fokuserer på en eller flere spesielle tallverdier.

Ledd

Se på uttrykket <math>a + b + 4</math>

Uttrykket består av tre ledd


Et ledd er en verdi i et regnestykke som er adskilt fra resten med et pluss eller minus.De tre leddene er a,b og 4

<math>10a^2 + 2b + 2 \cdot 2</math>
er også et uttrykk som består av tre ledd der hvert av leddene er produkter av to eller flere faktorer.

Produkt

Av og til skrives ikke multiplikasjonstegnet mellom faktorene; a•b skrive ofte som ab og g•(h+f) skrives gjerne som g(h+f). Selv om man ikke skriver multiplikasjonstegnet er det der allikevel.

Når man regner med tall og parenteser har man muligheten til å trekke sammen parentesene før man løser de opp, i algebra er denne muligheten begrenset da man ikke uten videre kan trekke sammen for eksempel a + b. Før du går løs på regning med bokstaver er det derfor viktig at du kjenner reglene for regning med parenteser.

Alle regneregler du kjenner fra tallregning gjelder også for algebra. La oss se på noen regler:


Regneregler

Kommutativ lov:

<math>a + b = b + a </math>

Assosiativ lov:

<math>(a + b) + c = a + (b + c)</math>


Kommutativ lov:

<math>a \cdot b = b \cdot a </math>



<math>a + a = 2a </math>


Test deg selv

Kvadratsetningene

De neste tre setningen kalles for kvadratsetningene.


Første kvadratsetning

<math>(a+b)^2 = (a+b)(a+b)= a^2+2ab+b^2 </math>




Eksempel:

<math>(3x+y)^2 = (3x+y)(3x+y)= 9x^2 + 6xy + y^2 </math>


Det er nyttig å kunne regne ut kvadratet på denne måten når du skal forenkle utrykke ved å trekke sammen ledd. Man må også beherske kvadratsetningene andre veien, det er nødvendig ved forkorting av brøker. For å kunne forkorte et utrykk må det være på faktorform. Dette krever litt trening i å "se" hva produktet blir.

Eksempel:

<math> 16a^2 + 24ab + 3b = (4a + 3b)^2</math>



Test deg selv

Andre kvadratsetning

<math>(a - b)^2 = (a - b)(a-b)= a^2-2ab+b^2 </math>



Eksempel:

<math>(3x-y)^2 = (3x-y)(3x-y)= 9x^2 - 6xy + y^2 </math>


Det er nyttig å kunne regne ut kvadratet på denne måten når du skal forenkle utrykke ved å trekke sammen ledd. Man må også beherske kvadratsetningene andre veien, det er nødvendig ved forkorting av brøker. For å kunne forkorte et utrykk må det være på faktorform. Dette krever litt trening i å "se" hva produktet blir.

Eksempel:

<math> 16a^2 - 24ab + 9b^2 = (4a - 3b)^2</math>



Test deg selv

Konjugatsetningen

<math>(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 </math>



<math>(5 + 2x)(5 - 2x) = 5^2 - 10x + 10x - 4x^2 = 25-4x^2 </math>


<math>9x^2 - 36y^2 = (3x+6y)(3x-6y) </math>

Test deg selv

Forkorting av brøkuttrykk

Eksempel:
<math> \frac {a^2}{ab}=\frac {a \cdot a }{a \cdot b} = \frac ab</math>

<math> \frac {a^2}{a^3}</math>

<math> \frac {b}{b}</math>

<math> \frac {(x+2)(x-2)}{(x+2)x}= \frac {(x+2)(x-2)}{(x+2)x}=</math>


<math> \frac {x^2 - 6x + 9}{2x^2 - 18}= \frac {(x-3)^2}{2(x+3)(x-3)}=</math>